1^k+2^k+3^k+4^k+5^k+.....+n^k=?

general 的公式或許會有, 但應該是很複雜.

要找出這些公式, 需要一層層去做

為方便計, Σ ---- Σ i from 1 to n

例如要找出 Σ ( i ^3 )
你先考慮

Σ( ( i + 1) ^4 - ( i )^4 )
= 2^4 + 3^4 + .... + (n+1)^4 - ( 1^4 + 2^4 + .... + n^4)
= (n+1)^4 - 1 --------------------------------(1)


另一邊
Σ( ( i + 1) ^4 - ( i )^4 )
= Σ (( i^4 + 4i^3 + 6i^2 + 4i + 1 ) - i^4 )
= Σ ( 4i^3 + + 4i + 1)
= 4 Σ( i^3 ) + 6Σ(i^2) + + n -------------------(2)


(1) = (2)
如果你已知 Σ(i^2) 及 Σ( i )
便可求出 Σ( i^3 )

所以, 要找出
n
Σr^k=?
r=1

只要你知道 Σ(i ) , Σ(i )^2 , ...... , Σ (i^ (k-1) )
再考慮Σ( ( i + 1) ^(k+1) - ( i )^(k+1) )

1^k+2^k+3^k+4^k+5^k+.....+n^k=?
12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)

13＋23＋33＋…＋n3＝[n(n＋1)/2] 2

14＋24＋34＋…＋n4＝n(n＋1)(2n＋1)[3n(n＋1)－1]

15＋25＋35＋…＋n5＝[n(n＋1)/2] 2[2n(n＋1)－1]

16＋26＋36＋…＋n6＝n(n＋1)(2n＋1){3n(n＋1)[n(n＋1)－1]＋1}

17＋27＋37＋…＋n7＝y[y2 (2y－1)－y(y－1)] where y＝n(n＋1)/2

no formula

(1+2+3+.....+n)^k