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在數學意義上,一個函數表示每個輸入值對應唯一輸出值。函數f中對應輸入值的輸出值x的標準符號為f(x)。一個包含一個函數的所有輸入值的集合被稱作這個函數的值域。這個所有輸入值的集合被稱作函數值。
例如,表達式f(x) = x2 表示了一個函數f,其中每個輸入值x都與唯一輸出值x2相聯繫。因此,如果一個輸入值為3,那麼它所對應的輸出值為9。一旦一個函數f被定義,例如,就可以被寫為f(4) = 16。
在數學中,用像f這樣臨時的名字來表述函數是一個不常見的操作;在下一段中我們也許會定義f(x) = 2x+1,那麼f(4) = 9。當一個函數名稱不再被需要的時候,我們經常使用y=x2這樣的格式。
從輸入值集合X 到可能的輸出值集合Y 的函數f(記作 f : X → Y)是X與Y的關係,滿足如下條件:
f 是完全的:對X 中任一元素x 都有集合Y 中的元素y 滿足x f y (x 與y 是f 相關的)。即,對每一個輸入值,Y 中都有至少一個與之對應的輸出值。
f 是多對一的:若x f y 且x f z ,則y = z 。即,多個輸入可以映射到一個輸出,但一個輸入不能映射到多個輸出。
定義域中任一x 在對映域中唯一對應的y 記為f(x)。
比上面定義更簡明的表述如下:從X 映射到Y 的函數f 是X 與Y 的直積X × Y 的子集。X 中任一x 都與Y 中的y 唯一對應,且有序對(x, y)屬於f 。
X與Y的關係若滿足條件(1),則為多值函數。函數都是多值函數,但多值函數不都是函數。X與Y的關係若滿足條件(2),則為偏函數。函數都是偏函數,但偏函數不都是函數。除非特別指明,本百科全書中的「函數」總是指同時滿足以上兩個條件的關係。