0.999999999999999=1嗎?????????

把0.999999...循環小數轉分數轉分數，可有兩種方法，如下：

1.設x = 0.9 (9上面加一點，代表循環小數)
即x = 0.999999... .....(1)
10x = 9.999999... ....(2) ←把方程(1)的兩方同時乘以10。
(2)﹣(1)：
9x = 9
x = 9 / 9 = 1
∴0.999999... = 1

2.設x = 0.9 (9上面加一點，代表循環小數)
即x = 0.999999...
10x = 9.999999... ←將兩方同時乘以10。
10x = 9+0.999999...
10x = 9+x
9x = 9
x = 9 / 9 = 1
∴0.999999... = 1

究竟0.99999=1? 終於有答案啦!!

回到最原始的題目來看; 0.99.. = 1 的問題,僅討論數列收斂性.
為了證得 0.99.. = 1, 我們考慮到幾何級數的問題.
而幾何級數的一般項為 n 1-r^n
Σr^k = -------
k=0 1 - r .
而此公式來由僅僅靠代數四則運算.(即用不到實數的完備性)
即:為了證得 0.99.. = 1, 根據數列收斂的定義;
我們只要確定 r^n -> 0 as n->∞ where -1< r < 1.
現在問題在於如何能確定 r^n -> 0 as n->∞ where -1< r < 1.
根據數列收斂定義而言:給定一個 ε,存在一個 N 使得 n ≧ N => ∣r^n∣ < ε.
換言之;考慮 ∣ r ∣ < ε^(1/n) for all n ≧ N.
我們現在只要能夠做到 ε^(1/n) -> 1 as n -> ∞ 即可.
而這個問題等價於 : 給定任意正數 a, a^(1/n) -> 1 as n-> ∞
不失一般性,令 a > 1. 則 a^n 可寫成 1 + h(n).即: a^(1/n) = 1+ h(n).
(若 a = 1 自動成立. 若 0 1, 故也為顯然)
我們想證: h(n) -> 0 as n->∞.
再度利用四則運算得 a = ( 1+h(n) )^n > 1 + n*h(n).
故 (a-1)/n > h(n) > 0. for all n in N.
再度回到 0.999.. = 1 來看. 我們已經把問題簡化成 :
只要能確定 1/n -> 0 as n-> ∞.
(因:夾擠定理只是數列收斂定義的直接應用的證明,不牽涉實數的完備性)
根據數列收斂定義:給定一個 ε,存在一個 N 使得 n ≧ N => 1/n < ε.
我終究得用阿基米德的性質而宣稱 1/n -> 0 as n-> ∞.
為了不牽涉實數的完備性,我決定引用-
Peano axioms:正整數沒有上界.(因有後繼元素)
也就是說;我現在希望我能用Peano axioms去證得 1/n -> 0 as n-> ∞.
現在證明: 利用正整數沒有上界之事實證得阿基米德原理.
Pf:
給定任兩個正實數 s 與 t,(不論 s 多大且不論 t 多小) 則必定存在一個 n, 使得
s < nt.( 因若不然;則 N 將會有上界.故矛盾)

於是;我利用了 Peano axioms 證得 阿基米德原理.
再根據阿基米德原理去證得 1/n -> 0 as n->∞.
再由此證得 r^n -> 0 as n->∞, where -1 < r < 1.
再依此證得 0.99..= 1.
所以 0.[ 9 ] = 1 ( 其中 [ ] 內為循環節 )

||　補充資料：
||　
||　0.9 ≠ 1
||　0.99 ≠ 1
||　0.999 ≠ 1
||　0.9999 ≠ 1
||　0.99999 ≠ 1
||　但是 0.9999... 無限個 9 才是 1。

very good !

0.99999999(無限9)等於1

2006-11-05 20:13:44 補充：
0.99999999(無限9)通常等於1

2006-12-09 19:18:37 補充：
好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好
好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好
好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好
好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好

Ｉｆ　ｙｏｕ　講咁四捨五入，那就＝１。

如果唔係四捨五入，那多少個０，都不等於１！

Yes...U can...

.99999999(無限9)當然是等於1

0因為0.999999....
= 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009......
這是一個首項為0.9、等比為0.1的等比數列
故它的無限項和是
0.9/(1-0.1) = 0.9/0.9 = 1 （會考數學程度）

至於發問者的這一句
＞＞　0.999999999(無限9)*2-1=0.999999998(無限9)
則當然是不對的啦。即然你都說是無限個９，又怎麼可以在無限個９後面加一個８字？無限就是沒有盡頭的意思，怎會找到沒有盡頭的東西的盡頭？
參考資料:

0.99999999(無限9)當然是等於1

因為0.999999....
= 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009......
這是一個首項為0.9、等比為0.1的等比數列
故它的無限項和是
0.9/(1-0.1) = 0.9/0.9 = 1 （會考數學程度）

至於發問者的這一句
＞＞　0.999999999(無限9)*2-1=0.999999998(無限9)
則當然是不對的啦。即然你都說是無限個９，又怎麼可以在無限個９後面加一個８字？無限就是沒有盡頭的意思，怎會找到沒有盡頭的東西的盡頭？

0.0000000000000000000...........無論多少零都不會＝１