附加數幾問~ - Ans.fyi 參考答案

附加數幾問~

2006-11-06 2:22 am

我有幾條數唔明，有請各位賜教:)

1.若a是一個實數且a不是等於-3，證明二次方程式 (a^2+9)x^2-2(a-3)x+2=0 沒有實根。

2.已知a與b都是整數，其中a不是等於0。證明二次方程式ax^2+4bx-(a-4b)=0 有有理根。

3.已知a、b、c為三角形ABC的邊長，證明: 若(c+a)x^2+2bx+(c-a)=0有兩個等根，則
三角形ABC是一個直角三角形。

大家help下我，唔該:)

回答 (1)

abcsghk

2006-11-06 2:37 am

✔ 最佳答案

1.
判別式 Δ
= [2(a-3)]^2 - 4 (a^2+9) (2)
= 4(a^2 - 6a + 9) - 8(a^2 + 9)
= -4a^2 -24a - 36
= -4(a^2 + 6a + 9)
= -4 (a + 3)^2
由於a 不等於 -3, 判別式必定是負數，因此方程式沒有實根。

2.
判別式 Δ
=(4b)^2 - 4(a)[-(a-4b)]
=16b^2 + 4a(a-4b)
=16b^2 + 4a^2 - 16ab
=4(a^2 - 4ab + 4b^2)
=4(a - 2b)^2
=[2(a-2b)]^2
由於判別式是一個完全平方數，因此方程式有有理根

3.
判別式 Δ
=(2b)^2 - 4(c+a)(c-a)
=4b^2 - 4(c^2 - a^2)
=4b^2 - 4c^2 + 4a^2
=4(a^2 + b^2 - c^2)
由於方程式有等根，故判別式的值為0，因此
4(a^2 + b^2 - c^2)=0
a^2 + b^2 - c^2=0
a^2 + b^2 = c^2
因此由畢氏定理的逆定理，ABC是一個直角三角形。

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