超難數學題..........(100pts也可以!!!!!)

這4題均可利用奇偶性(parity)求解.
1. 除非所有括號都是奇數, 否則(1 - a1)(2 - a2)...(99 - a99)必定是偶數.
會否所有括號都是奇數呢? 若可, 則
1 - a1是奇數. 即a1是偶數.
2 - a2是奇數. 即a2是奇數.
...
99 - a99是奇數. 即a99是偶數.
總括來說, a1, a2, a3, ..., a99當中, 有50個偶數, 49個奇數.
即1, 2, ..., 99當中, 有50個偶數, 49個奇數. 這是不可能的.
故(1 - a1)(2 - a2)...(99 - a99)必定是偶數.
2. 只考慮數列的奇偶性便可.
奇, 奇, 偶, 奇. 第5個數必是奇數. 如此類推,
奇, 奇, 偶, 奇, 奇, 奇, 奇, 偶, 奇, 奇, 奇, 奇, 偶, ......
必不會出現連續4個偶數. 故這串數中，不會依次出現2,0,0,8這四個數.
3. 任意相鄰2個運動員號碼之和必大於2. 若任意相鄰2個運動員號碼之和都是質數,
即任意相鄰2個運動員號碼之和都是奇數.
設第一人的編號為a1, ..., 第27人的編號為a27. 故
a1 + a2是奇數, a2 + a3是奇數, ..., a26 + a27是奇數, a27 + a1是奇數
(a1 + a2) + (a2 + a3) + ... + (a27 + a1)是奇數 (因有27個括號).
但(a1 + a2) + (a2 + a3) + ... + (a27 + a1) = 2(a1 + a2 + ... + a27), 故應是偶數. 這是不可能的.
4. 可用1表示杯口向上, 0表示杯口向下.
未開始時, 1的數目有7個. 經過翻轉後, 1的數目有3個. 每次翻轉, 1的數目都保持為奇數. 所以不可能把7隻杯口全部向下 (因1的數目不可能為0).

Q1): 其積一定是偶數，因 (n-a(n))=k(n), k(n)中必然有一個是偶數。

Q2):不可以，因1,9,8,7不能形成全偶數列，而出現2,0,0,8必需由全偶數列形成。

Q3): 無論這些小運動員是順序或任意站成一個圓圈都不可以使得任意相鄰2個運動員號碼之和都是質數。因為如果是順序的話，7+8=15,(3x5)不是質數。任意站的話，其中一可能排列是3+5=8 (2x4) 不是質數。

Q4)不可以，因經第一次翻轉後，每次翻轉都只會形成6下1上或7上。