什麼是多頂式?

數學上，多項式是由變數以及標量（一般是實數或複數）經乘法及加法構法而成，屬於整式的代數式。
例如：
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/7/8/0/780d74b2de70c4c8e20782bf7783aa6a.png
等都是多項式。
非多項式例子：
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/2/6/3/2630b2b88942ae4930f6eeeb0fbee03e.png
由於都是分式,是以非多項式。

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/2/9/7/29737212a26ccabb7407801cdb7d291a.png
，則這兩個多項式是相同的。
單項式是指可以純粹由乘法構法的多項式，如:
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/8/5/9/859be446c278c64418a30fe4ecab8fcf.png
。單項式其實是不含加法或減法運算的整式.
（註：有說單項式不是多項式，而多項式是由起碼兩個或以上的單項式相加起來而成。這是最常見單項式及多項式的定義。但多項式相加也可以是單項式，如
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/5/a/1/5a14f7a50e078ea9f42fba2f58d10a83.png
，這個區分令理論研究變得複雜。若然把單項式也歸納為多項式，則多項式相加的和也是多項式，情況比較簡單。）
幾何學中，多項式是最簡單的平滑曲線。簡單是指它僅由乘法及加法構法；平滑皆因它類同口語中的平滑——以數學述語來說，它是無限可微，即可以對它的所有高次微分都存在。事實上，多項式的微分也是多項式。
簡單及平滑的特點，使它在數值分析，圖論，以及電腦繪圖等，都發揮極大的作用。
正式定義

給一個環 R （可以是實數環，複數環或其他）及一個變數 x，則多項式是以下代數式：

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/d/4/6/d460a41101a50cb3cc322ce739d4aea5.png
，
當中 a0, …, an 是 R的元素。用Σ 表達法，有

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/0/2/1/021c2fcbfac7b3df6d96e473c327396d.png

容易證明，多項式的和或積都是多項式，即多項式組成一個環 R[x]。（註：在最一般的定義，a2x、xa2 及 axa 可以當作是不同的多項式，是不可置換環的例子。）
對於多變數多項式，我們可以類似方式定義。一個有 n 個變數的多項式，稱為 n元多項式。通常以 R[x,y,z] 表示 R 為系數環，x，y 及 z 為變數的多項式環。
在
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/9/2/4/9247d93ab85c899dcfe9ca9c23a04770.png
是這個單項式的次數。
多項式的項數
若多項式以最少的單項式之和呈現，則每一個單項式都被稱為此多項式的項，而項的數目稱為項數。
例如多項式
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/0/4/3/043cb5aa2c82f1846435f3a465b672b4.png
、都是此多項式的項。
以上例子中的多項式可以寫成四個以上單項式的和，如
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/2/e/6/2e6cdb297ff6848d015d2cba33cd5e83.png
是五個單項式的和。是以必須強調最少的單項式之和。
另外的例子是
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/6/9/a/69a0ce9584705e1b88725d6469bec488.png
共有二項，此多項式稱二項式。
（註：若把
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/2/b/4/2b4ba9d83cab5f6590062fdded857f40.png
。）
變項與常數項
多項式中含有變數的項稱為變項，祇有數字的項稱為常數項。例如多項式:
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/c/1/6/c167cc5b2b4ef0e9fb38d69c127a0bd5.png
是常數項。
（註：若把
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/2/b/4/2b4ba9d83cab5f6590062fdded857f40.png
才是常數項。）
多項式的「元」
多項式中的變數種類稱為元，各種變數以各字母表達(注:通常是x、y、z)，一個多項式有n種變數就稱為n元多項式。
例如：
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/6/5/9/65948aab930872be27672fff8d54ee62.png
二元，是二元多項式。因有四項，可稱二元四項式。
多項式的次數
多項式中次數最高的項的次數,即此多項式的次數。
例如多項式：
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/5/c/9/5c938b06af4d0081ba759c49baaed151.png
稱為一次項或線性項，而 5 是 0 次項或常數項。
又例如多項式
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/6/9/f/69f70da3cf961d8d0d826b19aee18061.png
是零次方。故此多項式的次數為一。而此多項式項數為三，可稱為一次三項式。
常數項
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/7/d/d/7ddbfb1b515e63a890bee8ce8afeef12.png
，常數項的次數都為0。
又例如
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/1/3/5/135a50fcf6c92b7a2c91056de6ade272.png
看作成在 R[c][x,y]=(R[c])[x,y] 中的多項式，則第一項是三次而系數為 c2 ，第二項是四次，是個二元四次多項式。）
多項式 p 的次數，記作 deg(p)，由英語 degree 而來。0 次多項式又稱常數多項式。1 次多項式又稱為線性多項式。多項式中的一次項又稱為線性項。
多項式的升冪及降冪排列
多項式可依各單項式元的次數排列。
次數從低到高是升冪排列。例如：以下多項式，從
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/2/e/2/2e2f7b9133735cbffd7f47fb5aeafb3a.png

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/6/3/1/63119ccfb26f93fb5c666e12077c5834.png

次數從高到是低降冪排列。例如：以下多項式，從
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/b/6/a/b6a10eb7b88203e1c51610be7b526ad1.png

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/5/a/7/5a78127786fbf9dd1a99c1c1024756fb.png

若一多項式為多元多項式，可依照其中一元排列。
例如:
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/8/5/5/8551aefab9b5190105cb72dcae140bc5.png
是依X的次數排列。
亦可以y的次數排列。
例如:
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