數學有趣4題（２０分）

1.傳統的數獨有九格，係日本譯音譯返黎，數獨是一種源自18世紀末的瑞士，後在美國發展、並在日本得以發揚光大的數學智力拼圖遊戲。拼圖是九宮格（即 3格寬×3格高）的正方形狀，每一格又細分為一個九宮格。在每一個小九宮格中，分別填上1至9的數字，讓整個大九宮格每一列、每一行的數字都不重複。

2研究圓周率 p 歷史的四個階段

「起」

「起」是圓周率的起源，究竟誰先發現它？

何時、何人、何地？

早在公元前二千多年，古代的巴比倫、埃及、中國和以色列人已先後發現了一個事實：不管圓的大小為何，它的圓周長除以它的直徑長會是一個不變的數值 (常數) 。讓我們看看古巴比倫人和埃及人的發現：

古巴比倫

巴比倫人從計算周界發現 ：一塊出土於 1936 年的黏土塊上記載，在古巴比倫時期 (約公元前 1900-1600 年) ，巴比倫人相信六邊形的周界為0;57,36 (以底數 60 計，亦即 = 96/100 = 24/25) 乘以它的外接圓的周界：

六邊形周界 = 24/25 ´ 其外接圓周界 = 24/25 ´ p ´ 直徑

由此，得出相信是最古老的圓周率的近似值：

p 〔巴比倫〕= 25/8 = 3.125

埃及

埃及人則從面積計算得 (約公元前 2000 年) ：在賴因德古本 (Rhind Papyrus)，記載了一條有關圓周率的問題：「一塊圓形土地的的直徑長 9，它的面積為何……取圓直徑的九分八，做為正方形的邊形，就可得到和圓等面積的正方形」。亦即：

A = (8d/9)2

由此，得出圓周率的近似值：

p 〔埃及〕 = (16/9)2 = 3.16049...

早在公元前二千多年，古代的巴比倫、埃及、中國和以色列人已先後發現了一個事實：不管圓的大小為何，它的圓周長除以它的直徑長會是一個不變的數值 (常數) 。讓我們看看古巴比倫人和埃及人的發現：

中國 (約公元前十二世紀)：中國最古老的數學書《周髀算經》記載了「周三徑一」。這顯示中國人認為 p = 3。

聖經 (約公元前 500 年)：在《列王紀上篇》第七章二十三節，也記載了有關圓周率的數值：「他又鑄一個銅海、樣式是圓的、高五肘、徑十肘、圍三十肘」 (這是描述所羅門王神殿內祭壇的規格)，亦即當時的人也認為 p = 3。

在這段期間，人們都是為生活而作計算，鮮有為圓周率而找圓周率。他們的發現多源自經驗 (實際量度) 所得，對圓周率的興趣只在於它在建築及工程上的應用，最多也只是想找出圓周率的值是多少。

直至公元前約四世紀，人類才轉往追問如何找出圓周率的值，開始為圓周率而找圓周率：

古希臘西那庫斯的阿基米德（Archimedes of Syracuse，公元前 287 - 212 年），是第一個有系統地找出圓周率的近似值和圓周率的上下限的數學家。

古代中國也有出色的數學研究。在西漢，天文學和曆法專家劉歆（公元前 50 - 公元 20 年) 因被差使去為國家發展一套標準的量度體系，他從製造一個青銅的圓柱器皿，算得 p = 3.15；而另一位天文學家東漢的張衡（78 - 139 年），《後書》記載了他從觀看天星球體而得出圓周率的值約為（= 3.1622...）（以單位圓及其外切正方形的面積比為 5 : 8 來計算）。後來王蕃（217 - 257 年）發現更準確的圓周率數值： p = 3.155...。
繼劉徽後約二百年，南北朝的祖沖之（429 - 500 年）在數學上也有傑出的成就。在《隋書．律曆志》中記載：

「宋末，南徐從事史祖沖之更開密法，以圓徑一丈，圓周盈數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數在盈朒二限之間」

在 1621 年，荷蘭數學家的斯涅爾（Wildebrod Snell， 1580? - 1626 年）發現了一套更有效的方法，他不須倍增多邊形的邊數，就可求出更準確的數值：他將多邊形的每一份分成三份，及將其每一條邊再作兩條邊，使之能更準確地包含圓的弧；再根據不等式，得出：
3.14022 － 3.14160

3.西方國家普遍相信「畢氏定理」是由古希臘數學家畢達哥拉斯 (Pythagoras, 公元前 572 至公元前 492 年)發現的，或者是至少是由他證明的。

4.應該係+同-，之前係冇數學算式，有左+同-先有數學算式

2006-11-01 15:07:59 補充：
4.係有+同-先~之前d人把圖案畫在牆上!多一隻就畫一隻！小一隻就抹一隻！

2006-11-03 15:22:51 補充：
下面個位咪都係抄人吔！

數獨是一種源自18世紀末的瑞士，後在美國發展、並在日本發揚光大的數學智力拼圖遊戲。拼圖是九宮格（即3格寬×3格高）的正方形狀，每一格又細分為一個九宮格。在每一個小九宮格中，分別填上1至9的數字(但並非一定採用數字, 例如採用字母a,b,c...)，讓整個大九宮格每一列、每一行的數字都不重複。

這種遊戲只需要邏輯思維能力，與數字運算無關。雖然玩法簡單，但數字排列方式卻千變萬化，所以不少教育者認為數獨是鍛煉腦筋的好方法。

後來，更因數獨的流行衍生了許多類似的數學智力拼圖遊戲，例如︰數和(Kakuro)、殺
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圓周率係3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 <br>
1712268066 1300192787 6611195909 2164201989 <br>
<br>
(小數後第100位) <br>
.誰人發明圓周率?我所知最早係中國古代數學家 祖沖之
推算出圓周率的值是在3.1415926和3.1415927之間的就是祖沖之, 他是利用割圓術求得圓內接二四五七六邊形的周長所計出的. 而且他還採用22/7作為約率，355/113作為密率. 這些結果都要比西方國家早幾個世紀.要知道當時只有算籌這種計算工具, 而計算工作又是很繁重的. 在這種情況下若不是他驚人的毅力和不畏艱苦的精神, 是不可能獲得這光輝的成果的.

祖沖之把正六邊形的邊長計算到小數後二萬八千六百七十二位, 是為了求圓周率小數後的第七位準確值, 就算在現代計算機通用年,代, 這可也是十分了不起的成就, 何況在古代. 在這其中有三點是值得我們注意的,

因為當時開平方不能求小數後第一位到第八位, 而他卻自己做到了. 同時亦有另外一人求第九位到第十六位…

在祖沖之那個時代還沒有算盤, 由此可見他其開平方的艱辛.

阿拉伯數字在十二、十三世紀才傳入中國, 所以祖沖之不可能使用阿拉伯數字, 可想而知當時計數的麻煩.

祖沖之爲我們如今的數學做出了個較轉折性的改變.當然,這改變對我們的影響是正面的.而且使我們更能掌握數學,運用數學.在他的貢獻上經過後者的研究令數學一度又一度再創高峰…祖沖之是偉大的數學家,受到大家的景仰. 也令我非常佩服.


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3 引言

　　世界上唯一一條「不是」定理的定埋是甚麼？那就是著名的畢氏定理。眾所周知，畢氏定理是指直角三角形的斜邊（hypotenuse）的平方 等於另外兩邊的平方之和，這種超過三百多種証明方法的定理，究竟是誰發現的？

最早的發現

　　早在公元前五、六世紀，在克羅托那有一個秘密組織「畢達哥拉斯學派」。這個組織相信「萬物皆源於數」，而且它無論在數論、幾何、天文、音樂等都有很高的造詣。這個教派有個很嚴格的規條，就是內部的發明及創作是不可以對外宣揚。相傳這個學派發現這條定理後，宰了 100 頭牛 來慶祝，所以「畢氏定理」又稱為「百牛定理」。



最早而嚴格的証明

　　由於這個學派不得對外宣揚，所以其發現在歷史上並無確實的記載。追溯歷史，最早對畢氏定理作而嚴格的證明要算是希臘的歐幾里得，他在《幾何原本》編寫的證明是現代數學教科書採用的。



中國及埃及人的貢獻

　　公元一世紀，中國最古老的數學及天文著作《周髀》記載了周朝的大夫商高與周公的大段對話，指出夏禹治水時知曉利用 3 : 4 : 5 來 構成三角形，時間上比不晚於埃及的最早記錄 。《周髀》中更明確寫出計算直角三角形弦長的方法：「勾股各自乘，并而開方除之」。由此可知中國人在那時已掌握勾股定理（畢氏定理又名勾股定理）。

　

　　另外，數學史家 M. B. 康托爾（Moritz Benedikt Cantor，1829-1920）已推測古埃及人已懂得運用邊長為 3 : 4 : 5 的直角三角形作直角的概念， 以達致測量、建築學上的用途。


中國人證明畢氏定理的方法---劉徽的證明
公元三世紀時的三國時代數學家劉徽在《九章算術》第九章「勾股」的勾股術「勾股各自乘、並而開方除之，即弦。」作注：

「勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其餘不移動也。合成弦方之冪，開方除之，即弦也。」　

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係有+同-先~之前d人把圖案畫在牆上!多一隻就畫一隻！小一隻就抹一隻！

2006-11-01 17:05:25 補充：
上臉第4條明抄我啦!正垃圾

數獨是一種源自18世紀末的瑞士，後在美國發展、並在日本得以發揚光大的數學智力拼圖遊戲。拼圖是九宮格（即 3格寬×3格高）的正方形狀，每一格又細分為一個九宮格。在每一個小九宮格中，分別填上1至9的數字，讓整個大九宮格每一列、每一行的數字都不重複。

早在公元前二千多年，古代的巴比倫、埃及、中國和以色列人已先後發現了一個事實：不管圓的大小為何，它的圓周長除以它的直徑長會是一個不變的數值 (常數) 。讓我們看看古巴比倫人和埃及人的發現：

中國 (約公元前十二世紀)：中國最古老的數學書《周髀算經》記載了「周三徑一」。這顯示中國人認為 p = 3。

聖經 (約公元前 500 年)：在《列王紀上篇》第七章二十三節，也記載了有關圓周率的數值：「他又鑄一個銅海、樣式是圓的、高五肘、徑十肘、圍三十肘」 (這是描述所羅門王神殿內祭壇的規格)，亦即當時的人也認為 p = 3。

在這段期間，人們都是為生活而作計算，鮮有為圓周率而找圓周率。他們的發現多源自經驗 (實際量度) 所得，對圓周率的興趣只在於它在建築及工程上的應用，最多也只是想找出圓周率的值是多少。

直至公元前約四世紀，人類才轉往追問如何找出圓周率的值，開始為圓周率而找圓周率：

古希臘西那庫斯的阿基米德（Archimedes of Syracuse，公元前 287 - 212 年），是第一個有系統地找出圓周率的近似值和圓周率的上下限的數學家。

古代中國也有出色的數學研究。在西漢，天文學和曆法專家劉歆（公元前 50 - 公元 20 年) 因被差使去為國家發展一套標準的量度體系，他從製造一個青銅的圓柱器皿，算得 p = 3.15；而另一位天文學家東漢的張衡（78 - 139 年），《後書》記載了他從觀看天星球體而得出圓周率的值約為（= 3.1622...）（以單位圓及其外切正方形的面積比為 5 : 8 來計算）。後來王蕃（217 - 257 年）發現更準確的圓周率數值： p = 3.155...。
繼劉徽後約二百年，南北朝的祖沖之（429 - 500 年）在數學上也有傑出的成就。在《隋書．律曆志》中記載：

「宋末，南徐從事史祖沖之更開密法，以圓徑一丈，圓周盈數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數在盈朒二限之間」

在 1621 年，荷蘭數學家的斯涅爾（Wildebrod Snell， 1580? - 1626 年）發現了一套更有效的方法，他不須倍增多邊形的邊數，就可求出更準確的數值：他將多邊形的每一份分成三份，及將其每一條邊再作兩條邊，使之能更準確地包含圓的弧；再根據不等式，得出：

3.14022 &lt; p &lt; 3.14160

西方國家普遍相信「畢氏定理」是由古希臘數學家畢達哥拉斯 (Pythagoras, 公元前 572 至公元前 492 年)發現的，或者是至少是由他證明的。

1.傳統的數獨有九格，係日本譯音譯返黎
4.應該係+同-，之前係冇數學算式，有左+同-先有數學算式