循環小數轉分數

把0.999999...循環小數轉分數轉分數，可有兩種方法，如下：

1.設x = 0.9 (9上面加一點，代表循環小數)
即x = 0.999999... .....(1)
10x = 9.999999... ....(2) ←把方程(1)的兩方同時乘以10。
(2)﹣(1)：
9x = 9
x = 9 / 9 = 1
∴0.999999... = 1

2.設x = 0.9 (9上面加一點，代表循環小數)
即x = 0.999999...
10x = 9.999999... ←將兩方同時乘以10。
10x = 9+0.999999...
10x = 9+x
9x = 9
x = 9 / 9 = 1
∴0.999999... = 1

由兩種方法都是求到等於1，其實9分之9即是等於1，所以無理由答1是錯。
如果你想知道點解0.99999...=1，可以按以下網址
http://hk.knowledge.yahoo.com/question/?qid=7006092901697

把1.999999...循環小數轉分數轉分數，可有兩種方法，如下：

1.設x = 1.9 (9上面加一點，代表循環小數)
即x = 1.999999... .....(1)
10x = 19.99999... ....(2) ←把方程(1)的兩方同時乘以10。
(2)﹣(1)：
10x﹣x = 19.999...﹣1.999...
9x = 18
x = 18 /9
x = 2 /1
x = 2
∴1.999999... = 2

2.設x = 1.9 (9上面加一點，代表循環小數)
即x = 1.999999...
10x = 19.99999... ←將兩方同時乘以10。
10x = 18+1.999999...
10x = 18+x
10x﹣9x = 18
x = 18 / 9
x = 2 /1
x = 2
∴0.999999... = 1


1.設x = 2.9 (9上面加一點，代表循環小數)
即x = 2.999999... .....(1)
10x = 29.99999... ....(2) ←把方程(1)的兩方同時乘以10。
(2)﹣(1)：
10x﹣9x = 29.99999...﹣2.999999...
9x = 27
x = 27 / 9
x = 3 / 1
x = 3
∴2.999999... = 3

2.設x = 2.9 (9上面加一點，代表循環小數)
即x = 2.999999...
10x = 29.999999 ←將兩方同時乘以10。
10x = 27+2.999999...
10x = 27+x
10x﹣x = 27
9x = 27
x = 27 / 9
x = 3 / 1
x = 3

∴0.999999... = 1


2006-11-02 19:28:45 補充：
∴2.999999... = 3

如果要將一個循環小數轉化為分數
設該循環小數為N=0.abcdef......nabcdef......nabcdef......
設由a到n共有y個數
10^y N=abcdef......n.abcdef......nabcdef......
10^y N-N=abcdef......n
(10^y-1)N=abcdef......n
N=abcdef......n/(10^y-1)
在這個情況下
0.999999........=9/(10-1)=1
1.999999........=1+9/(10-1)=2
如此類推
0.99999.......=1
有一個最簡單的證法
1/9=0.1111111........
2/9=0.2222222........
.........
8/9=0.8888888........
9/9=1
9/9=0.9999999.........
所以0.9999999.........=1

0.9=9/10
0.99=99/100
0.999=999/1000
要化成分數決定於你要多少個位，一定可以變成分數。但如果你說要無限咁多個位，咁就會是：0.999999999..........=0.9/(1-0.1)=1
1.9999999999999999999999999999999........................=2
2.9999999999999999999999999999999........................=3

‧
0.9

9
=___
99
1
=____
11

以上的也一樣:

1又11分之
2又11分之1

轉法很簡單的,只要循環小數的循環節有多少個位,再加上一個小數位,而全部位都要係9

跟住再約簡,約唔到就係答案囉!!

混循環的話,你再開多條問題我再答你吧=.="

個人認為：

0.999999999999999999999999....=1

1.999999999999999999999999...=2

2.999999999999999999999999...=3

這是因為0.1111111111111111111111111...=1/9
，而0.88888888888888888888888888...=8/9
當兩數相加，=9/9=1，但小數卻只是0.999999999999999999....

相關資料：
究竟0.99999=1? 終於有答案啦!!

回到最原始的題目來看; 0.99.. = 1 的問題,僅討論數列收斂性.
為了證得 0.99.. = 1, 我們考慮到幾何級數的問題.
而幾何級數的一般項為 n 1-r^n
Σr^k = -------
k=0 1 - r .
而此公式來由僅僅靠代數四則運算.(即用不到實數的完備性)
即:為了證得 0.99.. = 1, 根據數列收斂的定義;
我們只要確定 r^n -> 0 as n->∞ where -1< r < 1.
現在問題在於如何能確定 r^n -> 0 as n->∞ where -1< r < 1.
根據數列收斂定義而言:給定一個 ε,存在一個 N 使得 n ≧ N => ∣r^n∣ < ε.
換言之;考慮 ∣ r ∣ < ε^(1/n) for all n ≧ N.
我們現在只要能夠做到 ε^(1/n) -> 1 as n -> ∞ 即可.
而這個問題等價於 : 給定任意正數 a, a^(1/n) -> 1 as n-> ∞
不失一般性,令 a > 1. 則 a^n 可寫成 1 + h(n).即: a^(1/n) = 1+ h(n).
(若 a = 1 自動成立. 若 0 1, 故也為顯然)
我們想證: h(n) -> 0 as n->∞.
再度利用四則運算得 a = ( 1+h(n) )^n > 1 + n*h(n).
故 (a-1)/n > h(n) > 0. for all n in N.
再度回到 0.999.. = 1 來看. 我們已經把問題簡化成 :
只要能確定 1/n -> 0 as n-> ∞.
(因:夾擠定理只是數列收斂定義的直接應用的證明,不牽涉實數的完備性)
根據數列收斂定義:給定一個 ε,存在一個 N 使得 n ≧ N => 1/n < ε.
我終究得用阿基米德的性質而宣稱 1/n -> 0 as n-> ∞.
為了不牽涉實數的完備性,我決定引用-
Peano axioms:正整數沒有上界.(因有後繼元素)
也就是說;我現在希望我能用Peano axioms去證得 1/n -> 0 as n-> ∞.
現在證明: 利用正整數沒有上界之事實證得阿基米德原理.
Pf:
給定任兩個正實數 s 與 t,(不論 s 多大且不論 t 多小) 則必定存在一個 n, 使得
s < nt.( 因若不然;則 N 將會有上界.故矛盾)

於是;我利用了 Peano axioms 證得 阿基米德原理.
再根據阿基米德原理去證得 1/n -> 0 as n->∞.
再由此證得 r^n -> 0 as n->∞, where -1 < r < 1.
再依此證得 0.99..= 1.