一元二次文字題(10分)

用A和B二個水龍頭來注水入箱.若只開A,則比只開啟B要多用25分鐘才可注滿水箱
現相繼將A和B各單獨開啟20分鐘後再同時開啟10分鐘便可注滿水箱
求A,B分別需要多少時間注滿水箱
設單用A注水需要x分鐘
則單用B注水需要x - 25分鐘
依題設
(20/x) + (20/(x-25)) + (10/x) + (10/(x-25)) = 1
(30/x) + (30/(x-25)) = 1
30(x-25) + 30x = x(x-25)
30x-750 + 30x = x2-25x
x2 – 85x + 750 = 0
(x-10)(x-75) = 0
則 x = 75 或 x = 10 (不合，因為x為10分鐘則A注水的時間為負值)
所以
單獨用A需時75分鐘
單獨用B需時75-25= 50分鐘

設水龍頭A的注水速度是a立方米每分鐘,水龍頭B的注水速度是b立方米每分鐘,y是水龍頭A注滿一個水箱所用的時間(分鐘)。

速度x時間 = 體積
ay = b(y-25) --- (1)
20a+20b+10(a+b) = ay --- (2)

根據(1)：ay = by-25b
by-ay = 25b
y(b-a) = 25b
y = 25b/(b-a) --- (3)

(3)代入(2)：20a+20b+10a+10b = 25ab/(b-a)
30(a+b)(b-a) = 25ab
-30(a+b)(a-b) = 25ab
-30(a^2-b^2) = 25ab <--- (a+b)(a-b) = a^2-b^2
30a^2+25ab-30b^2 = 0
6a^2+5ab-6b^2 = 0
(3a-2b)(2a+3b) = 0
3a = 2b or 2a = -3b(捨去) <---因為速度不能是負數在這情況下
所以 a = 2b/3, a/b = 2/3 --- (5)

根據(1)：a/b = (y-25)/y
(y-25)/y = 2/3
3(y-25) = 2y
3y-2y = 75
y = 75(分鐘)

因此，水龍頭A需要用75分鐘注滿水箱，而水龍頭B需要用50分鐘注滿水箱。