畢氏定理的由來

勾股定理（畢氏定理，商高定理）
　　勾股定理︰在直角三角形中，兩直角邊的平方 和等於斜邊的平方。

　　勾股定理是初等幾何中的一個基本定理。這個 定理有十分悠久的歷史，幾乎所有文明古國（希臘、中國、埃及、巴比倫、印度等）對此定理都有所 研究，希臘著名數學家畢達哥拉斯（前580至568- 前501至500）曾對本定理有所研究，故西方國家均 稱此定理為畢達哥拉斯定理，據說畢達哥拉斯十分喜愛這個定理，當他在公元前550前年左右發現這 個定理時，宰殺了百頭牛羊以謝神的默示。但畢達哥拉斯對勾股定理的證明方法已經失傳。著名的希 臘數學家歐幾里得（前330-前275）在巨著《幾何原本》（第Ⅰ卷，命題47）中給出一個很好的證明 （如圖1）：分別以直角三角形的直角邊AB，AC及斜邊BC向外作正方形，ABFH，AGKC及BCED，連FC， BK，作AL⊥DE。則歐幾里得通過△BCF及△BCK為媒介。證明了正方形ABFH與矩形BDLM及正方形ACKG與 矩形MLEC等積，於是推得AB2+AC2=BC2。有興趣的讀者可參以下之網址︰
http://aleph0.clarku .edu/~djoyce/java/el ements/elements.html

　　在我國，這個定理的敘述最早見於《周髀算經 》（大約成書於公元前一世紀前的西漢時期），書中有一段商高（約前1120）答周公問中有「勾廣三 ，股修四，經隅五」的話，意即直角三角形的兩條直角邊是3及4、則斜邊是5。書中還記載了陳子（ 前716）答榮方問︰「若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，並而開方除之、得邪至 日」，古漢語中邪作斜解，因此這一句話明確陳述了勾股定理的內容。至三國的趙爽（約3世紀）， 在他的數學文獻《勾股圓方圖》中（作為《周髀算經》的注文，而被保留於該書之中）。運用弦圖， 巧妙的證明了勾股定理，如圖2。他把三角形塗成紅色，其面積叫「朱實」，中間正方形塗成黃色叫 做「中黃實」，也叫「差實」。他寫道︰「按弦圖，又可勾股相乘為朱實二，倍之為朱實四，以勾股 之差相乘為中黃實，加差實，亦稱弦實」。若用現在的符號，分別用a、b、c記勾、股、弦之長，趙 爽所述即

2ab+(a-b)2=c2，
化簡之得a2+b2=c2。

　　12世紀印度的婆什迦羅（1114-1185）的書中 也有一個類似的圖，和弦圖不同的是沒有外邊的正方形，也沒有其它說明，只在旁邊寫著「請看！」 二字。

　　由於勾股定理的簡單明白而且重要，從而二千 多年來引起了中外許多人士的興趣，可稱為世上證法最多的定理。若對勾股定理各種不同證明感到興 趣，可參考
Lommis, E.S.(1968). The Pythagorean Proposition: It's Demonstrations Analyzed and Classified and Bibliography of Sources for Data of the Four Kinds of "Proofs". Washington, D.C.: National Council of Teachers of Mathematics.

畢氏定理同埋勾股定理係通用ge...

中國古代數學歷史(三)──勾股定理
王邇敦

勾股定理即西方所指的畢氏定理：就是在直角三角形中，兩直角邊的平方和等於斜邊的平方。勾股定理是初等幾何中的一個基本定理。

在中國，這個定理的記載最早見於《周髀算經》（約公元前一世紀前的西漢時期），書中有一段商高答周公問中有「勾廣三，股修四，經隅五」的話，意即直角三角形的兩條直角邊是3及4、則斜邊是5；書中還記載陳子答榮方問︰「若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，並而開方除之、得邪至日。」(圖一) 當中說明了勾股定理的內容。


(圖一)

至三國的趙爽（約3世紀）， 在他的數學文獻《勾股圓方圖》中，運用弦圖， 巧妙地證明了勾股定理的理論。他把三角形塗成紅色，其面積叫「朱實」，中間正方形塗成黃色，叫做「中黃實」，也叫「差實」。又曰︰「按弦圖，又可勾股相乘為朱實二，倍之為朱實四，以勾股之差相乘為中黃實，加差實，亦稱弦實」。若用現在的符號，分別用a、b、c記勾、股、弦之長，趙爽所述即2ab+(a-b)2=c2，簡化之為a2+b2=c2。(圖二)



(圖二)


出入相補原理

三國時期魏國人劉徽，在魏景元四年編寫《九章算術注》(圖三)，提出了「出入相補原理」，即把圖形分割若干塊後，各塊面積和等於原圖面積，他利用「出入相補原理」，成功地證明了「勾股定理」的理論。

「出入相補原理」又稱「以盈補虛」或「損廣補狹」，是將平面圖形或立體圖形分割成若干部分，將它們重新拼合成其面積或體積為已知的圖形，從而解決與面積、體積有關的問題，成為中國傳統數學解決面積、體積和勾股、測望問題的重要方法。它起源於《算數書》、《九章算術》編纂的時代，不過現傳最早的記載在趙爽《周髀算經注》的勾股圓方圖說與劉徽《九章算術注》的方田、少廣、商功、勾股等章中。它基於這樣兩個基本的前提：將一個圖形分割成若干部分，則它們全體的面積或體積之和等於原圖形的面積或體積；將一個圖形平移或旋轉不改變其面積或體積。這兩個前提在中國傳統數學著作中沒有表述過，是當作不言自明的真理使用的。

劉徽在《九章算術》第九章「勾股」(圖四)　的勾股術「勾股各自乘、並而開方除之，即弦。」作注曰：「勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其餘不移動也。合成弦方之冪，開方除之，即弦也。」




(圖三)




(圖四)


「股」正方面積 +「勾」正方面積 =「弦」正方面積，即是：股2 + 勾2 = 弦2【解說見(圖五)】，這個證明的基本原理是利用平面圖形的面積，巧妙加以移、合、拼、補之後，甚至無須代數運算，而突出勾、股、弦之間的關係，劉徽利用這種方法概括成一套基本原理，稱為「出入相補原理」。這個原理是把一個平面圖形從一處移置到另一處，面積不變；又若把圖形分割成若干塊，那麼各部分面積的和等於原來圖形的面積，「勾股定理」由此得到了證明。






(圖五)