兩個圓柱交錯的地方成八隅體

http://tw.pg.photos.yahoo.com/ph/kenino15/detail?.dir=b03dscd&.dnm=dc60scd.jpg&.src=ph參考上圖。{因繪圖功力不夠，多餘部份的曲面，未能截去}橫向的正圓柱面為 x² + z² = k² 、 垂直的正圓柱面為 x² + y² = k²不難想像所交成的空間實體，是由四個曲面所包覆。因為對稱性，所以得知此四個曲面的表面積皆相等。今先求最頂上的該曲面表面積，而後再乘上 4 ，即為題意所求。最頂上的曲面為 x² + z² = k² 、 但此曲面在 x 、 y 方向的限制為 x² + y² = k²參閱大一微積分最末章節向量微積分，有關面積分的段落。曲面的表面積公式： ∫∫ dσ = ∫∫ || ▽f || / | ▽f‧p | dA || ▽f ||：曲面梯度的向量長度f： x² + z² = k² ⇒ ▽f = ( 2x , 0 , 2z ) ⇒ || ▽f || = 2 √( x² + z² ) = 2kp：選擇適合的單位法向量 ( 0 , 0 , 1 ) 使得 ▽f 投影在 x y 平面上|▽f‧p|： | (2x,0,2z)．(0,0,1) | = | 2z | = 2 √( k² - x² )dA： dσ 投影在 xy 平面上 ⇒ dA = dx dy積分曲間：x² + y² = k²所求 = 4 × ∫∫ 2k / 2√( k² - x² ) dx dy = 4 × ∫∫ k / √( k² - x² ) dx dy　　 = 4 × ∫02π∫0k k / √( k² - r²cos²(θ) ) r dr dθ　　 = 4k × ∫02π ( -√( k² - r²cos²(θ) / cos²(θ) |0k ) dθ　　 = 4k × ∫02π k ( 1 - | sin(θ) | ) sec²(θ) ) dθ　　 = 8k² × ∫0π ( 1 - sin(θ) ) sec²(θ) dθ　　 = 8k² × ∫0π ( sec²(θ) - tan(θ)sec(θ) ) dθ　　 = 8k² × ( tan(θ) - sec(θ) ) |0π = 8k² × ( 0 + 1 - 0 + 1 )　　 = 16k²