What is 兀
回答 (6)
2006-10-28 5:22 am
✔ 最佳答案
當我們想到 pi 的時候，千萬不要老是只想到圓。我們應想到它與所有的奇數正整數有關，也與所有質數平方因數的正整數有關，從初等的代數、幾何，到高等的分析、拓樸都離不開 p。此外它又是統計學上一個重要公式的一部分。p 就像變魔術一樣，在數學領域裡到處出現。 斯坦 圓周率 ...... 圓周與圓直徑的比率
圓周率的發展
年代
求證者
內容
古代
中國周髀算經
西方聖經 周一徑三
圓周率 = 3
元前三世紀 阿基米德
(希臘) 1. 圓面積等於分別以半圓周和徑為邊長的矩形的面積
2. 圓面積與以直徑為長的正方形面積之比為 11:14
3. 圓的周長與直徑之比小於 3 1/7 ,大於3 10/71
三世紀 劉徽
(中國)
用割圓術得圓周率＝3.1416稱為 "徽率"
五世紀 祖沖之
(中國)
1. 3.1415926 < 圓周率 < 3.1415927
2. 約率 ＝ 22/7
3. 密率 ＝ 355/113
1596年 魯道爾夫
(荷蘭)
正確計萛得 p 的 35 位數字
1579年 韋達
(法國)
"韋達公式" 以級數無限項乘積表示 p
1600年 威廉.奧托蘭特
(英國)
用p/σ表示圓周率
π是希臘文圓周的第一個字母
σ是希臘文直徑的第一個字母
1655年 渥里斯
(英國) 開創利用無窮級數求 p 的先例
1706年 馬淇
(英國)
"馬淇公式" 計算出 p 的 100 位數字
1706年 瓊斯
(英國) 首先用 p 表示圓周率
1789年 喬治.威加
(英國) 準確計算p 至126 位
1841年 魯德福特
(英國)
準確計算 p 至 152 位
1847年 克勞森
(英國)
準確計算 p 至 248 位
1873年 威廉.謝克斯
(英國) 準確計算 p 至 527 位
1948年 費格森和雷恩奇
(英國, 美國) 準確計算 p 至 808 位
1949年 賴脫威遜
(美國)
用計算機將 p 計算到 2034 位
現代 用電子計算機可將 p 計算到億位
圓周率本身是個無理數，也是超越數。最近的發展都是利用電腦算的！
「圓周率＝圓周長÷直徑長」
圓周率近似值＝3.141592653589793238 46264338327950288419 71693993
75105820979445923078 16406286208998628034 82534211706798214808
65132823067647093844 60955058223172535940 81284811174502841027
01938521109555964462 29489549303819644288 10975665933446128475
64823378678316527120 19091456485669234603 48610454326648213393
...........
古人在計算「圓周長 ÷直徑長」時，並不是真的去量某一個圓的直徑和圓周長，而是以下圖的方式算出圓周長。古人是在圓裡面畫一個圓內接正多邊形，由下圖你可以發現，紅色的多邊形的邊數愈多，畫出來的多邊形便愈是接近圓形，古人便是利用這種方法，準確地以「數學方法」算出多邊形的周長，然後再來和直徑相除得到圓周率。這裡要特別強調的是「多邊形的周長」是用數學方法算出來的，不是用尺去量出來的，至於那是什麼樣的數學方法，就等著各位自己去研究嘍！依照這種方法，公元五世紀時中國人祖沖之以圓內接24576邊形計算出圓周率約為 =3.1415929……，和目前公認的圓周率相比，它的誤差還不到八億分之一。這個圓周率是當時全世界最準的圓周率，而這個記錄，一直到一千年以後，才被法國的律師兼業餘數學家韋達所打破。(你可以按這裡參考關於圓周率的歷史) 當然之後由於電腦的發明，人類得以在計算上求得速度和準確度的突破，但是即使電腦再強大，「圓周長 ÷直徑長」仍然是一個連電腦也算不完的無窮小數。圓周率算得完嗎？大概是不可能算得完了，因為早有科學家證明「圓周率」是一個「無理數」，至於之前談到的「畫圓為方」的問題，恐怕也是無解了，因為更有科學家證明「圓周率」還是個「超越數」。 不過話說回來，其實我們根本也不需要小數點後太多位的圓周率，因為只要用準確到小數點後第十位的圓周率，我們就可以在誤差不超過1英吋(2.54公分)的情況下，準確地算出地球的周長；而如果你願意的話，只要用小數點後30位的圓周率，就可以算出宇宙的周長(根據大爆炸理論)，它的誤差，小得連用顯微鏡都看不出來呢！既然如此，為什麼有那麼多人處心積慮的要算出圓周率呢？因為：「探索圓周率就像探索宇宙─大衛．楚諾維斯基」附：準確到小數點後第一萬位的圓周率。
參考資料：神奇的π 【商周出版社】說明一：所謂的「無理數」是指「無法以『分數』來表示的數字」說明二：所謂的「超越數 」是指無法以「幾何作圖」的方式表示出來的數字
一九九七年 安正金田和高橋利用Hitachi SR2201,花了29個小時，計算出515億個位數( )。
網路上它有圓周率小數點後列到一萬位。夠你用啦！
圓周率本身是個無理數，也是超越數。最近的發展都是利用電腦算的！
「圓周率＝圓周長÷直徑長」
圓周率近似值＝3.1415926535897932384626433832795028841971693993
751058209794459230781640628620899862803482534211706798214808
651328230676470938446095505822317253594081284811174502841027
019385211095559644622948954930381964428810975665933446128475
648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393
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2006-10-28 5:47 am
西里爾字母的 П 及拉丁字母的 P 都是從 Pi 變來。
圓周率，一般以π來表示，是一個在數學及物理學普遍存在的數學常數。它定義為圓形之周長與直徑之比。它也等於圓形之面積與半徑平方之比。是精確計算圓周長、圓面積、球體積等幾何形狀的關鍵。分析學上，π 可定義為是最小的 x > 0 使得 sin(x) = 0。
常用的 π 近以值包括疏率：及密率：。這兩項均由祖沖之給出。
π 約等於（精確到小數點後第100位）
3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70680
π 的計算及歷史
由於 π 的超越性，所以只能以近似值的方法計算 π。對於一般應用 3.14 或 已足夠，但工程學常利用 3.1416 （5個有效數字） 或 3.14159 （6個有效數字）。至於密率 則是易於記憶，精確至7位有效數字的分數。
[編輯]
實驗時期
中國古籍云：『周三徑一』，意即 π=3。公元前17世紀的埃及古籍《阿美斯紙草書》（Ahmes，又稱「阿梅斯草片文書」；為英國人Henry Rhind於1858年發現，因此還稱「Rhind草片文書」）是世界上最早給出圓周率近似值，為 256/81 ( = 3 + 1/9 + 1/27 + 1/81) 或 3.160。
至阿基米得之前，π值之測定倚靠實物測量。
[編輯]
幾何法時期——反覆割圓
阿基米得用幾何方法得出圓周率是介乎 與 之間。
公元263年，劉徽用「割圓術」給出 π=3.14014 並限出 3.14 是個很好的近似值——「割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣。」；其中有求極限的思想。
公元466年，祖沖之用割圓術算到小數點後7位精度，這一紀錄在世界上保持了一千年之久。為紀念祖沖之對中國圓周率發展的貢獻，將這一推算值用他的名字被命名為「祖沖之圓周率」，簡稱「祖率」。
[編輯]
分析法時期——無窮級數
這一時期人們開始擺脫利用割圓術的繁複計算，開始利用無窮級數或無窮連乘積求π。
Ludolph van Ceulen (circa，1600年) 計算出首 35 個小數字。他對此感到自豪，因而命人把它刻在自己的墓碑上。
Slovene 數學家Jurij Vega於1789年得出首 140 個小數字，其中有 137 個是正確的。這個世界紀錄維持了五十年。他是利用了John Machin於1706年提出的數式。
所有以上的方法都不能快速算出 π。第一個快速演算法由 Machin 提出：
其中 arctan(x) 可由泰勒級數算出。類似方去稱為「類Machin演算法」。
[編輯]
計算器時代
上萬位以上的小數字值通常利用 Gauss-Legendre 演算法或 Borweins 演算法；另外以往亦曾使用於1976年發現的 Salamin-Brent 演算法。
第一個 π 和 1/π 的百萬小數字利用了 Project Gutenberg。最新紀錄是2002年九月得出的 1,241,100,000,000 個小數位，由擁有 1TB 主存儲器的 64-node 日立 超級電腦，以每秒 200 億運算驚人速度得出，比舊紀錄多算出一倍 (206 億小數位)。此紀錄由以下類Machin演算法得出：
(K. Takano, 1982年)
(F. C. W. Störmer, 1896年)
這麼多的小數字沒什實用價值，只用以測試超級電腦。
1996年，David H. Bailey、Peter Borwein及西蒙•普勞夫發現了 π 的其中一個無窮級數：
以表達式可以計算 π 的第 n 個二進位或十六進位小數，而不需先計算之前 n-1 個小數位。請參考 Bailey's website 相關程序。
其它計算圓周率的方法包括：
(Ramanujan)
(David Chudnovsky 及 Gregory Chudnovsky)
π的特性和相關方程
幾何：
若圓的半徑為 r，其圓周為 C = 2 π r
若圓的半徑為 r，其面積為 A = π r2
若橢圓的長、短兩幅分別為 a 和 b ，其面積為 A = π ab
若球體的半徑為 r，其體積為 V = (4/3) π r3
若球體的半徑為 r，其表面積為 A = 4 π r2
角度： 180 度相等於 π 弧度
[編輯]
代數
π 是個無理數，不可以是兩個整數之比，是由Johann Heinrich Lambert於1761年證明的。 1882年，Ferdinand Lindemann更證明了 π 是超越數，即不可能是某有理數多項式的根。
圓周率的超越性否定了化圓為方這古老尺規作圖問題的可能性，因所有尺規作圖只能得出代數數。
[編輯]
數學分析
(Leibniz 定理)
(Wallis乘積)
(歐拉)
(斯特林(Stirling)公式)
(歐拉(Euler)公式)
π 有個特別的連分數表達式：
π 本身的連分數表達式(簡寫)為 [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,...]，其近似部分給出的首三個漸近分數
第一個和第三個漸近分數即為疏率和密率的值。數學上可以證明，這樣得到的漸近分數，在分子或分母小於下一個漸進分數的分數中，其值是最接近精確值的近似值。
(另有 12 個表達式見於 [1] )
圓周率，一般以π來表示，是一個在數學及物理學普遍存在的數學常數。它定義為圓形之周長與直徑之比。它也等於圓形之面積與半徑平方之比。是精確計算圓周長、圓面積、球體積等幾何形狀的關鍵。分析學上，π 可定義為是最小的 x > 0 使得 sin(x) = 0。
常用的 π 近以值包括疏率：及密率：。這兩項均由祖沖之給出。
π 約等於（精確到小數點後第100位）
3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70680
π 的計算及歷史
由於 π 的超越性，所以只能以近似值的方法計算 π。對於一般應用 3.14 或 已足夠，但工程學常利用 3.1416 （5個有效數字） 或 3.14159 （6個有效數字）。至於密率 則是易於記憶，精確至7位有效數字的分數。
[編輯]
實驗時期
中國古籍云：『周三徑一』，意即 π=3。公元前17世紀的埃及古籍《阿美斯紙草書》（Ahmes，又稱「阿梅斯草片文書」；為英國人Henry Rhind於1858年發現，因此還稱「Rhind草片文書」）是世界上最早給出圓周率近似值，為 256/81 ( = 3 + 1/9 + 1/27 + 1/81) 或 3.160。
至阿基米得之前，π值之測定倚靠實物測量。
[編輯]
幾何法時期——反覆割圓
阿基米得用幾何方法得出圓周率是介乎 與 之間。
公元263年，劉徽用「割圓術」給出 π=3.14014 並限出 3.14 是個很好的近似值——「割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣。」；其中有求極限的思想。
公元466年，祖沖之用割圓術算到小數點後7位精度，這一紀錄在世界上保持了一千年之久。為紀念祖沖之對中國圓周率發展的貢獻，將這一推算值用他的名字被命名為「祖沖之圓周率」，簡稱「祖率」。
[編輯]
分析法時期——無窮級數
這一時期人們開始擺脫利用割圓術的繁複計算，開始利用無窮級數或無窮連乘積求π。
Ludolph van Ceulen (circa，1600年) 計算出首 35 個小數字。他對此感到自豪，因而命人把它刻在自己的墓碑上。
Slovene 數學家Jurij Vega於1789年得出首 140 個小數字，其中有 137 個是正確的。這個世界紀錄維持了五十年。他是利用了John Machin於1706年提出的數式。
所有以上的方法都不能快速算出 π。第一個快速演算法由 Machin 提出：
其中 arctan(x) 可由泰勒級數算出。類似方去稱為「類Machin演算法」。
[編輯]
計算器時代
上萬位以上的小數字值通常利用 Gauss-Legendre 演算法或 Borweins 演算法；另外以往亦曾使用於1976年發現的 Salamin-Brent 演算法。
第一個 π 和 1/π 的百萬小數字利用了 Project Gutenberg。最新紀錄是2002年九月得出的 1,241,100,000,000 個小數位，由擁有 1TB 主存儲器的 64-node 日立 超級電腦，以每秒 200 億運算驚人速度得出，比舊紀錄多算出一倍 (206 億小數位)。此紀錄由以下類Machin演算法得出：
(K. Takano, 1982年)
(F. C. W. Störmer, 1896年)
這麼多的小數字沒什實用價值，只用以測試超級電腦。
1996年，David H. Bailey、Peter Borwein及西蒙•普勞夫發現了 π 的其中一個無窮級數：
以表達式可以計算 π 的第 n 個二進位或十六進位小數，而不需先計算之前 n-1 個小數位。請參考 Bailey's website 相關程序。
其它計算圓周率的方法包括：
(Ramanujan)
(David Chudnovsky 及 Gregory Chudnovsky)
π的特性和相關方程
幾何：
若圓的半徑為 r，其圓周為 C = 2 π r
若圓的半徑為 r，其面積為 A = π r2
若橢圓的長、短兩幅分別為 a 和 b ，其面積為 A = π ab
若球體的半徑為 r，其體積為 V = (4/3) π r3
若球體的半徑為 r，其表面積為 A = 4 π r2
角度： 180 度相等於 π 弧度
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代數
π 是個無理數，不可以是兩個整數之比，是由Johann Heinrich Lambert於1761年證明的。 1882年，Ferdinand Lindemann更證明了 π 是超越數，即不可能是某有理數多項式的根。
圓周率的超越性否定了化圓為方這古老尺規作圖問題的可能性，因所有尺規作圖只能得出代數數。
[編輯]
數學分析
(Leibniz 定理)
(Wallis乘積)
(歐拉)
(斯特林(Stirling)公式)
(歐拉(Euler)公式)
π 有個特別的連分數表達式：
π 本身的連分數表達式(簡寫)為 [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,...]，其近似部分給出的首三個漸近分數
第一個和第三個漸近分數即為疏率和密率的值。數學上可以證明，這樣得到的漸近分數，在分子或分母小於下一個漸進分數的分數中，其值是最接近精確值的近似值。
(另有 12 個表達式見於 [1] )
2006-10-28 5:26 am
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209794459230781640628620899862803482534211706798214808651328230676470938446095505822317253594081284811174502841027019385211095559644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393...........
2006-10-28 5:23 am
西里爾字母的 П 及拉丁字母的 P 都是從 Pi 變來。
圓周率，一般以π來表示，是一個在數學及物理學普遍存在的數學常數。它定義為圓形之周長與直徑之比。它也等於圓形之面積與半徑平方之比。是精確計算圓周長、圓面積、球體積等幾何形狀的關鍵。分析學上，π 可定義為是最小的 x > 0 使得 sin(x) = 0。
常用的 π 近以值包括疏率：及密率：。這兩項均由祖沖之給出。
π 約等於（精確到小數點後第100位）
3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70680
π 的計算及歷史
由於 π 的超越性，所以只能以近似值的方法計算 π。對於一般應用 3.14 或 已足夠，但工程學常利用 3.1416 （5個有效數字） 或 3.14159 （6個有效數字）。至於密率 則是易於記憶，精確至7位有效數字的分數。
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實驗時期
中國古籍云：『周三徑一』，意即 π=3。公元前17世紀的埃及古籍《阿美斯紙草書》（Ahmes，又稱「阿梅斯草片文書」；為英國人Henry Rhind於1858年發現，因此還稱「Rhind草片文書」）是世界上最早給出圓周率近似值，為 256/81 ( = 3 + 1/9 + 1/27 + 1/81) 或 3.160。
至阿基米得之前，π值之測定倚靠實物測量。
[編輯]
幾何法時期——反覆割圓
阿基米得用幾何方法得出圓周率是介乎 與 之間。
公元263年，劉徽用「割圓術」給出 π=3.14014 並限出 3.14 是個很好的近似值——「割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣。」；其中有求極限的思想。
公元466年，祖沖之用割圓術算到小數點後7位精度，這一紀錄在世界上保持了一千年之久。為紀念祖沖之對中國圓周率發展的貢獻，將這一推算值用他的名字被命名為「祖沖之圓周率」，簡稱「祖率」。
[編輯]
分析法時期——無窮級數
這一時期人們開始擺脫利用割圓術的繁複計算，開始利用無窮級數或無窮連乘積求π。
Ludolph van Ceulen (circa，1600年) 計算出首 35 個小數字。他對此感到自豪，因而命人把它刻在自己的墓碑上。
Slovene 數學家Jurij Vega於1789年得出首 140 個小數字，其中有 137 個是正確的。這個世界紀錄維持了五十年。他是利用了John Machin於1706年提出的數式。
所有以上的方法都不能快速算出 π。第一個快速演算法由 Machin 提出：
其中 arctan(x) 可由泰勒級數算出。類似方去稱為「類Machin演算法」。
[編輯]
計算器時代
上萬位以上的小數字值通常利用 Gauss-Legendre 演算法或 Borweins 演算法；另外以往亦曾使用於1976年發現的 Salamin-Brent 演算法。
第一個 π 和 1/π 的百萬小數字利用了 Project Gutenberg。最新紀錄是2002年九月得出的 1,241,100,000,000 個小數位，由擁有 1TB 主存儲器的 64-node 日立 超級電腦，以每秒 200 億運算驚人速度得出，比舊紀錄多算出一倍 (206 億小數位)。此紀錄由以下類Machin演算法得出：
(K. Takano, 1982年)
(F. C. W. Störmer, 1896年)
這麼多的小數字沒什實用價值，只用以測試超級電腦。
1996年，David H. Bailey、Peter Borwein及西蒙•普勞夫發現了 π 的其中一個無窮級數：
以表達式可以計算 π 的第 n 個二進位或十六進位小數，而不需先計算之前 n-1 個小數位。請參考 Bailey's website 相關程序。
其它計算圓周率的方法包括：
(Ramanujan)
(David Chudnovsky 及 Gregory Chudnovsky)
π的特性和相關方程
幾何：
若圓的半徑為 r，其圓周為 C = 2 π r
若圓的半徑為 r，其面積為 A = π r2
若橢圓的長、短兩幅分別為 a 和 b ，其面積為 A = π ab
若球體的半徑為 r，其體積為 V = (4/3) π r3
若球體的半徑為 r，其表面積為 A = 4 π r2
角度： 180 度相等於 π 弧度
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代數
π 是個無理數，不可以是兩個整數之比，是由Johann Heinrich Lambert於1761年證明的。 1882年，Ferdinand Lindemann更證明了 π 是超越數，即不可能是某有理數多項式的根。
圓周率的超越性否定了化圓為方這古老尺規作圖問題的可能性，因所有尺規作圖只能得出代數數。
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數學分析
(Leibniz 定理)
(Wallis乘積)
(歐拉)
(斯特林(Stirling)公式)
(歐拉(Euler)公式)
π 有個特別的連分數表達式：
π 本身的連分數表達式(簡寫)為 [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,...]，其近似部分給出的首三個漸近分數
第一個和第三個漸近分數即為疏率和密率的值。數學上可以證明，這樣得到的漸近分數，在分子或分母小於下一個漸進分數的分數中，其值是最接近精確值的近似值。
(另有 12 個表達式見於 [1] )
圓周率，一般以π來表示，是一個在數學及物理學普遍存在的數學常數。它定義為圓形之周長與直徑之比。它也等於圓形之面積與半徑平方之比。是精確計算圓周長、圓面積、球體積等幾何形狀的關鍵。分析學上，π 可定義為是最小的 x > 0 使得 sin(x) = 0。
常用的 π 近以值包括疏率：及密率：。這兩項均由祖沖之給出。
π 約等於（精確到小數點後第100位）
3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70680
π 的計算及歷史
由於 π 的超越性，所以只能以近似值的方法計算 π。對於一般應用 3.14 或 已足夠，但工程學常利用 3.1416 （5個有效數字） 或 3.14159 （6個有效數字）。至於密率 則是易於記憶，精確至7位有效數字的分數。
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實驗時期
中國古籍云：『周三徑一』，意即 π=3。公元前17世紀的埃及古籍《阿美斯紙草書》（Ahmes，又稱「阿梅斯草片文書」；為英國人Henry Rhind於1858年發現，因此還稱「Rhind草片文書」）是世界上最早給出圓周率近似值，為 256/81 ( = 3 + 1/9 + 1/27 + 1/81) 或 3.160。
至阿基米得之前，π值之測定倚靠實物測量。
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幾何法時期——反覆割圓
阿基米得用幾何方法得出圓周率是介乎 與 之間。
公元263年，劉徽用「割圓術」給出 π=3.14014 並限出 3.14 是個很好的近似值——「割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣。」；其中有求極限的思想。
公元466年，祖沖之用割圓術算到小數點後7位精度，這一紀錄在世界上保持了一千年之久。為紀念祖沖之對中國圓周率發展的貢獻，將這一推算值用他的名字被命名為「祖沖之圓周率」，簡稱「祖率」。
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分析法時期——無窮級數
這一時期人們開始擺脫利用割圓術的繁複計算，開始利用無窮級數或無窮連乘積求π。
Ludolph van Ceulen (circa，1600年) 計算出首 35 個小數字。他對此感到自豪，因而命人把它刻在自己的墓碑上。
Slovene 數學家Jurij Vega於1789年得出首 140 個小數字，其中有 137 個是正確的。這個世界紀錄維持了五十年。他是利用了John Machin於1706年提出的數式。
所有以上的方法都不能快速算出 π。第一個快速演算法由 Machin 提出：
其中 arctan(x) 可由泰勒級數算出。類似方去稱為「類Machin演算法」。
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計算器時代
上萬位以上的小數字值通常利用 Gauss-Legendre 演算法或 Borweins 演算法；另外以往亦曾使用於1976年發現的 Salamin-Brent 演算法。
第一個 π 和 1/π 的百萬小數字利用了 Project Gutenberg。最新紀錄是2002年九月得出的 1,241,100,000,000 個小數位，由擁有 1TB 主存儲器的 64-node 日立 超級電腦，以每秒 200 億運算驚人速度得出，比舊紀錄多算出一倍 (206 億小數位)。此紀錄由以下類Machin演算法得出：
(K. Takano, 1982年)
(F. C. W. Störmer, 1896年)
這麼多的小數字沒什實用價值，只用以測試超級電腦。
1996年，David H. Bailey、Peter Borwein及西蒙•普勞夫發現了 π 的其中一個無窮級數：
以表達式可以計算 π 的第 n 個二進位或十六進位小數，而不需先計算之前 n-1 個小數位。請參考 Bailey's website 相關程序。
其它計算圓周率的方法包括：
(Ramanujan)
(David Chudnovsky 及 Gregory Chudnovsky)
π的特性和相關方程
幾何：
若圓的半徑為 r，其圓周為 C = 2 π r
若圓的半徑為 r，其面積為 A = π r2
若橢圓的長、短兩幅分別為 a 和 b ，其面積為 A = π ab
若球體的半徑為 r，其體積為 V = (4/3) π r3
若球體的半徑為 r，其表面積為 A = 4 π r2
角度： 180 度相等於 π 弧度
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代數
π 是個無理數，不可以是兩個整數之比，是由Johann Heinrich Lambert於1761年證明的。 1882年，Ferdinand Lindemann更證明了 π 是超越數，即不可能是某有理數多項式的根。
圓周率的超越性否定了化圓為方這古老尺規作圖問題的可能性，因所有尺規作圖只能得出代數數。
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數學分析
(Leibniz 定理)
(Wallis乘積)
(歐拉)
(斯特林(Stirling)公式)
(歐拉(Euler)公式)
π 有個特別的連分數表達式：
π 本身的連分數表達式(簡寫)為 [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,...]，其近似部分給出的首三個漸近分數
第一個和第三個漸近分數即為疏率和密率的值。數學上可以證明，這樣得到的漸近分數，在分子或分母小於下一個漸進分數的分數中，其值是最接近精確值的近似值。
(另有 12 個表達式見於 [1] )
2006-10-28 5:23 am
圓周率的定義與近似值
圓周率 π是圓的周長與直徑的比，即直徑是 1 的圓周長是 π，使用積分的定義則是
自古以來，種種方法被運用於求 π 的近似值。以 An，Bn 表示單位圓的內接與外切之正 n 邊形面積，則有
因而 。π的值到小數點後200位是
取 π = 31,415,926,535/10,000,000,000，做輾轉相除法得 π 的連分數表示是
而前面七個近似分數是
阿基米德考慮圓內接與外切正96邊形，而得出 ；而西元五世紀左右，祖沖之得出的近似值 ，近代更用計算機，將 π 的值計算到 16,000,000位。
圓周率 π是圓的周長與直徑的比，即直徑是 1 的圓周長是 π，使用積分的定義則是
自古以來，種種方法被運用於求 π 的近似值。以 An，Bn 表示單位圓的內接與外切之正 n 邊形面積，則有
因而 。π的值到小數點後200位是
取 π = 31,415,926,535/10,000,000,000，做輾轉相除法得 π 的連分數表示是
而前面七個近似分數是
阿基米德考慮圓內接與外切正96邊形，而得出 ；而西元五世紀左右，祖沖之得出的近似值 ，近代更用計算機，將 π 的值計算到 16,000,000位。
收錄日期: 2021-04-12 21:30:28
原文連結 [永久失效]:
https://hk.answers.yahoo.com/question/index?qid=20061027000051KK04039