什麼是自然數?

自然數的概念在數學上一直被當做最明顯,最基本的概念來應用

自然數，在數學中，是指正整數（1, 2, 3, 4...）。前面的定義通常在數論中使用；而在集合論和電腦科學中，則喜歡使用或非負整數（0, 1, 2, 3, 4...）這種定義。

自然數通常有兩個作用：可以被用來計數（如「有3個蘋果」），也可用於排序（如「這是國內第3大城市」）。

自然數有關整除性的特性，例如質數的分佈，屬於數論研究範圍的課題。有關計數的問題，比如Ramsey理論在組合學中研究。

數學家一般以
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/6/2/4/624e4cf68723f677d53e8cf2272f348a.png
代表以自然數組成的集合。此集合無上界而可數。

定義

要給出自然數的嚴謹定義並非易事。皮亞諾公設提出自然數要適合五點：


有一起始自然數 0。
任一自然數 a 必有後繼（successor），記作 a +1。
0 並非任何自然數的後繼。
不同的自然數有不同的後繼。
（數學歸納公設）有一與自然數有關的命題。設此命題對 0 成立，而當對任一自然數成立時，則對其後繼亦成立，則此命題對所有自然數皆成立。
若把 0 除出自然數之外，則公設內的 0 要換作 1。

集合論中的一般構作法是把一自然數看作是所有比它少的自然數組成的集，即　0 =｛ }，1 = {0}，2 = {0,1}，3 = {0,1,2} ……若有人把自然數看作集合，通常就是如上。 在此定義下，在集合 n 內就有 n 個元素；而若 n 小於 m，則 n 會是 m 的子集。



[編輯] 性質
自然數加法可經a + 0 = a及a + (b + 1) = (a + b) + 1遞歸定義而成。因而得出可置換么半群(N, + )，是由1生出的自由么半群，其中么元為0。此么半群服從消去律，可嵌入一群內：最小的是整數群。

同理，自然數乘法
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/9/e/e/9eedd61e32f7a8e70e171028a7e5dc08.png
和 + 服從分配律：



圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/e/9/5/e95e75c5cb7753a02364dba4b7ff4d4e.png
。
我們說
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/6/1/4/6140ef5040ba627278812185179a80e5.png
。

給出兩個自然數a和b而
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/b/f/3/bf35a1a26866b951b3c68608d2ecc836.png
，可找到唯一兩個自然數q及r < b使得


a = bq + r
q稱為「商數」而r稱為「余數」。 若r = 0則a可被b 除盡，記為a | b。

相關慨念有可除性，輾轉相除，質數及其它數論慨念。