為什麼要有先乘除後加減?

對於這個問題，我們先來看一個例子吧：
這個問題看起來也是很簡單的，因為有了先乘除，後加減這個規定以後，當算式裡有加，減法，又有乘，除法時，大家按這個規則運算，結果就是一樣的，使正確的答案只有一個。例如:3＋2＊4＝？正確的答案是十一。如果不按這個規則運算，先算加，後算乘，結果就變成二十。
的確,有了規定能使運算結果一致.但是為什麼不規定先加減，後乘除呢？
原來，這也是有它的道理的，雖然有了規定能使運算結果一致，但究竟怎樣規定最合理，最方便呢？
這是應該考慮的。由於在日常生活實際應用中，需要先乘除，後加減的情況多得多。
例如：鉛筆每枝價0.05元，練習簿每本價0.10元，橡皮擦每塊價0.03元，現在買鉛筆2枝，練習簿3本，橡皮擦1塊，共要多少錢？
本來，最初的算式中，只會出現＋、－、×、÷ 中的一個運算符號。將兩個以上的運算符號使用於同一算式中，稱為「併式」。併式有它的好處，最大的好處在於分配律、結合律、交換律的使用。例如：(125×39)×8 如果先改為 39×(125×8)，就可迅速由 125×8＝1000的事實得解，減少了125×39的麻煩。當然，沒有併式，也就沒有方程式了！

本來併式一定要用括號來標示運算執行的先後順序，如果執行時，先算後算的結果相同，那麼就可以完全不要括號，如連加或連乘。

如果事先約好一種優先順序，也可以節省括號。「先乘除後加減」是一種有良好效果的約定。因為加減是對同等類量執行的，乘除時，乘數和除數是對被乘數和被除數加以操作時的作用數，作用結束後，即可用加減加以處理。例如上超市買東西，每種東西有單價及數量，先將單價乘以數量再加起來，就是總價。這就是「線性代數」中所講的「線性組合」，再來就是「多項式」。線性組合和多項式這兩種代數式能以目前這種面貌出現，全拜先乘除後加減的約定之賜。

這是成人算則中約定俗成的「共識」，

像由左而右計算、有刮號的先算都是「共識」，

透過這些共識

可以讓大家都懂得別人的算法到底在算些什麼？



如果硬要說為什麼～我想可以這樣解釋～



題目：果凍一個3元，糖果一顆2元，老師買4個果凍和5顆糖果，一共要付多少錢？



分開來算是這樣的： 3+3+3+3=12 2+2+2+2+2=10 12+10=22

如果用乘法（我們都知道乘法其實就是連加的速算方式）

就變成 3*4＝12 2*5＝10 12+10＝22



如果我們把它們並式，先算的必須要刮號表示（請先暫時忘記先乘除後加減的規則），

就變成：（3+3+3+3）+（2+2+2+2+2）＝22

再套用可以速算的乘法，就變成 ：(3*4)+(2*5)=22

以邏輯常理推斷，先做可以速算的部份是很自然的，既然是速算的部分，就是要先算，所以我們會先算乘法的部分，故把用來註記為先算的（　）省略，就成了3*4+2*5＝22



其實先乘除後加減是可以精省算式中（　 ）的使用，讓算式看起來比較簡單，但是我們也是可以全部都改成只要先算就一定要以（　）表示，只是會比較累而已～

0.05元＊2＋0.10元＊3＋0.03元＊1
＝0.10元＋0.30元＋0.03元
＝0.43元
從上面這個問題看來，先算乘法，再算加法，比較簡捷。數學上規定先乘除，後加減，也正是反映了這種具體情況漢實際需要哩。

在四則混算裡, 小括號比中括號優先；若沒有括號則需先算乘方, 再算乘除, 後算加減等等規則, 是一種約定。有了這些約定, 同一條式子計算出來的答案才會相同, 不會有這幫人用規則A得一個答案, 另一幫人用規則B然後得出截然不同的答案。

至於為什麼要先乘除, 而不從一開始就規定先加減, 或先加乘等等, 其實與加減乘除的概念和哪一種較方便有關。

先來看看台大數學系朱建正教授所言：

在合併式中，如果事先約好一種優先順序，也可以節省括號。「先乘除後加減」是一種有良好效果的約定。因為加減是對同等類量執行的，乘除時，乘數和除數是對被乘數和被除數加以操作時的作用數，作用結束後，即可用加減加以處理。例如上超市買東西，每種東西有單價及數量，先將單價乘以數量再加起來，就是總價。這就是「線性代數」中所講的「線性組合」，再來就是「多項式」。線性組合和多項式這兩種代數式能以目前這種面貌出現，全拜先乘除後加減的約定之賜。(from www.bud.org.tw/answer/9912/991274.htm)

上文所指同等類量, 即表示各加數應屬於同一類型的物件。例如：現有2個盒, 分別盛有6隻和4隻雞旦。
列式計算蛋的總數：6隻+4隻=10隻;
你不會這樣算：2盒旦+4隻=6隻 或 =6盒；因為這條式中各「加數」與「和」的名數不統一, 2表示盒, 4表示隻, 非但單位不同, 一個是盒, 一個是蛋, 乃兩類不同的物件。
減數同理。

至於乘除。
首先, 乘除其實是加減的簡約式(同理, 乘方是乘的簡寫式)：
如果我有4個$2, 用加數計算總額是：$2+$2+$2+$2=$8
乘式則能以較短的方法顯示同一種運算：$2x4 = $8 (指將$2相加4次, 與加式同義)
乘數4對於被乘數$2來說, 起了一個作用, 代表2相加的次數, 而不是多少錢或多少隻、多少盒等。
除法亦然。

因有正負數的概念, 故先加後減還是先減後加對最終答案沒有影響, 同理, 先乘後除還是先除後乘均對答案沒有影響。故加減為同組、乘除亦另同組。
但是, 乘除與加減需分開運算。因為乘除式中的「乘數」及「除數」與加減式中的各項非同等類量, 故必需先將其變成同等類(即計算「積」及「商」)才能進行加減。

用朱教授超市買東西的例子, 若我買1塊$3的橡皮擦, 4枝$2的鉛筆, 計算總價錢：
用加式, $3+$2+$2+$2+$2=$11, 留意所有數字都是指金額, 為同等類量；
用乘式混合加式, $2x4+$3, 4代表需將$2加4次, 4與$3為非同等類量, 不能相加。

上文說明加減與乘除需分先後, 但為什麼是先乘除而非先加減呢？這只是方便與否的問題, 由於先乘除與我們日常生活的應用與思維較相似及方便, 故採用之。

試想想我們往買東西的習慣, 在未有全電腦化收銀系統前或需要心算的時刻, 我們會將同一種類/價錢的貨物先作分類, 計算分類小計金額, 然後再相加得出總金額。就好像我們去吃迴轉壽司時, 若想計算價錢, 待應不是會把相同顏色的碟的數量算好, 乘以價錢, 然後才相加的嗎？

哪條式較簡便？
約定先乘除：
$9x12+$15x3+$18x2+$35x2=$108+$45+$36+$70=$259

若約定先加減, 則需加小括號, 式子變為：
($9x12)+($15x3)+($18x2)+($35x2)=$108+$45+$36+$70=$259

從上例看出, 先乘除的約定有利於我們日常生活的使用。
但當然, 在某些情況下(見下例)先乘除可能反而會令式子累贅, 但針無兩頭利, 我們只能採取較接近生活思維的一種, 而捨棄特殊的例子。

若我們吃迴轉壽司時, 各種顏色的碟分別吃了3碟, 總收費：
約定先乘除, 每種顏色先算小計：
$9x3+$12x3+$15x3+$18x3+$20x3+$25x3+$35x3
=$27+$36+$45+$54+$60+$75+$105=$402

約定先加減, 將各種價錢小計, 再乘碟數3：
($9+$12+$15+$18+$20+$25+$35)x3
=$134x3=$402

呢d係前人既落既rules好難解

This has been asked before, and I think the following should be the best (from http://hk.knowledge.yahoo.com/question/?qid=7006040300340):

對於這個問題，我們先來看一個例子吧：

這個問題看起來也是很簡單的，因為有了先乘除，後加減這個規定以後，當算式裡有加，減法，又有乘，除法時，大家按這個規則運算，結果就是一樣的，使正確的答案只有一個。例如:3＋2＊4＝？正確的答案是十一。如果不按這個規則運算，先算加，後算乘，結果就變成二十。

的確,有了規定能使運算結果一致.但是為什麼不規定先加減，後乘除呢？

原來，這也是有它的道理的，雖然有了規定能使運算結果一致，但究竟怎樣規定最合理，最方便呢？這是應該考慮的 - 由於在日常生活實際應用中，需要先乘除，後加減的情況多得多，所以便定下'先乘除後加減'。

例如：鉛筆每枝價0.05元，練習簿每本價0.10元，橡皮擦每塊價0.03元，現在買鉛筆2枝，練習簿3本，橡皮擦1塊，共要多少錢？
0.05元＊2＋0.10元＊3＋0.03元＊1
＝0.10元＋0.30元＋0.03元
＝0.43元

從上面這個問題看來，先算乘法，再算加法，比較簡捷。數學上規定先乘除，後加減，也正是反映了這種具體情況和實際需要哩。
1. Multiplication and division must be completed before addition and subtraction

2. Before addition and subtraction, do multiplication and division

3. Rule of multiplication/ division before addition /subtraction

4. Do multiplication and division before addition and subtraction

因為以前有個人定了要乘除後加減，所以係無得解ｇａ