何謂有理數???

數學上，有理數是一個整數 a 和一個非零整數 b 的比(ratio)，通常寫作 a/b，故又稱作分數。希臘文稱為 λογος ，原意為「成比例的數」(rational number)，但中文翻譯不恰當，逐漸變成「有道理的數」。不是有理數的實數遂稱為無理數。

所有有理數的集合表示為 Q，或 。定義如下：


有理數的小數部分有限或為循環。




目錄 [隱藏]
1 演算法
2 形式構建
3 性質
4 實數
5 p進數



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演算法
有理數的加法和乘法如下:







兩個有理數 和 相等 若且唯若 ad = bc

有理數中存在加法和乘法的逆。





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形式構建
數學上可以將有理數定義為整數的有序對 ，這裡 b 不為零。我們可以對這些有序對定義加法和乘法，規則如下：



為了使 2 / 4 = 1 / 2，定義等價關係 如下：


這種等價關係與上述定義的加法和乘法上是一致的，而且可以將 Q 定義為 ~ 的商集。例如：兩個對 (a, b) 和 (c, d) 是相同的，如果它們滿足上述等式。（這種構建可用於任何整數環，參見商域。）

Q 上的全序關係可以定義為


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性質
集合 ，以及上述的加法和乘法運算，構成域，即整數 的商域。

有理數是包含特徵 0 的最小的域：所有其他包含特徵 0 的域都包含 的一個複製。

的代數閉包，例如有理數多項式的根的域, 是代數數。

所有有理數的集合是可數的。因為所有實數的集合是不可數的，從勒貝格測度來看，可以認為絕大多數實數不是有理數。

有理數是個稠密排列的集合：任何兩個有理數之間存在另一個有理數，事實上是存在無窮多個。

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實數
有理數是實數的緊密子集：每個實數都有任意接近的有理數。一個相關的性質是，有理數是用連分數的有限表示方式的唯一的數。

依照它們的序列，有理數具有一個序拓撲。有理數是實數的（稠密）子集，因此它同時具有一個子空間拓撲。採用度量 ，有理數構成一個度量空間，這是 上的第三個拓撲。幸運的是，所有三個拓撲一致並將有理數轉化到一個拓撲域。有理數是非局部緊致空間的一個重要的實例。這個空間也完全不連貫（totally disconnected）。有理數不構成完備的度量空間；實數是 的完備集。

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p進數
除了上述的絕對值度量，還有其他的度量將 轉化到拓撲域：

設 p 是 質數，對任何非零整數 a 設 | a | p = p - n，這裡 pn 是 p 的最高次冪除 a；

另外 | 0 | p = 0。對任何有理數 ，設 。

則 在 上定義了一個度量。

度量空間 不完備，它的完備集是p進數域 。

取自"http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0&variant=zh-hk"

只是copy所有的字，不去分析問題

有理數 (rational number)
數學上，有理數的意思是任何一個有理數都可寫成a / b的形式，其中a及b是整數，而b≠0，故又稱作分數。希臘文稱為 λογος ，原意為「成比例的數」(rational number)，但中文翻譯不恰當，逐漸變成「有道理的數」。不是有理數的實數遂稱為無理數。所有有理數的集合表示為 Q。有理數的小數部分有限或為循環。

以下是一些有理數的例子：
1.整數，如5 = 5 / 1，﹣6 = ﹣6 / 1
2.分數，如1 / 2，7 / 10
3.有盡小數，如如0.2 = 1 / 5，0.25 = 1 / 4等。
4.循環小數，如0.44...=4 / 9，0.234234...=26 / 111等。
5.平方數的平方根，如√4，√25
循環小數是有理數的原因是它可以化為分數。如下：

1.把0.4 (4上面有一點，即代表循環小數)化為分數。
設x=0.4 (4上面有一點)
即x=0.444444... ........(1)
10x=4.444444... ........(2) ←把方程(1)的兩方同時乘以10。
(2)﹣(1)：
9x = 4
x = 4 / 9
∴0.4 (4上面有一點) = 4 / 9

2.把0.234 (2和4上面有一點，即代表循環小數)化為分數。
設x = 0.234 (2和4上面有一點)
即x=0.234234... .....(1)
1000x=234.234234... ...(2) ←把方程(1)的兩方同時乘以1000。
(2)﹣(1)：
999x = 234
x = 234 / 999 = 26 / 111
∴0.234 (2和4上面有一點) = 26 / 111

因此循環小數是有理數的。

可分成m除n的數或有窮盡小數(m,n整數)

有理數
有理數的定義是：只要能以分數形式表現出來的數，就是有理數(當然必須限定是分母、分子都是整數，且分母不得為0)。所以整數、有限小數、循環小數、及分數都是有理數。

有理數是指所有可以變成 a/b的數, a和b是整數

0可寫成0/1，所以這是有理數

有理數
有理數的定義是：只要能以分數形式表現出來的數，就是有理數(當然必須限定是分母、分子都是整數，且分母不得為0)。所以整數、有限小數、循環小數、及分數都是有理數。