徵求數學與大自然關係的文章!!

從牛頓的萬有引力，我們看得出數學與物理有密切的關係，而且近三百年來的發展，更證明了物理幾乎離不開數學：古典力學體系總結於 Lagrange 及 Hamilton 的微分方程式；聯繫宏觀現象與微觀現象（如氣體動力學）用的是統計的方法；電磁學經由 Maxwell 方程式而脫胎換骨；狹義相對論找到 Minkowski 的非歐幾何模型；廣義相對論植基於 Riemann 幾何學；量子力學的不同描述法經由泛函分析統一後，有新的詮釋；基本粒子經由群論而看出一些規則性；最近的物理學則越來越用矢量叢的理論，做為其演繹的語言。物理學中，無論是決定論的想法，或是機率論的想法，數學總有相應的語言可資使用。另外，物理學中有些原理，如守恆原理、最小作用量原理、對稱原理等，都是數學式的語言，很容易用數學的方法處理。
數學在物理學中有這麼重要，我們禁不住要問：「數學為什麼這麼有用？」「數學在物理理論的建立與演繹過程中到底扮演什麼樣的角色？」
數學為什麼這麼有用？最簡單的答案是：「自然說的是數學話。」這種想法大約起源於西元前600年左右。那時候一些希臘哲學家認為大自然是循然有序，依照一定模式來變化的。於是他們用數學的方法來描述變化的原因，預測變化的結果。他們最先認為自然是用整數來建立的，這就是畢氏學派的（數學）原子論。其後又認為自然是依幾何方式來變化的，這種想法從西元前四世紀的同心球理論，到西元二世紀 Ptolemy 的周轉圓理論而確立。Kepler 雖然捨棄了周轉圓的理論，但他還是以幾何的語言來描述行星的運動。
牛頓以及他那一世代的科學家都是虔誠的教徒，他們的發現雖然使人更確認自然是說數學話的，但也證明了天體運行和地面運動遵守同一定律，因此眾星與地球沒有什麼不同，而且上帝子民的地球居然也不過是躲在宇宙中的一個小角落裏。這樣的發現雖然違反了宗教的固有信念，但他們到底在宗教與科學的兩極中找到了平衡點：他們堅信上帝是個超級的數學家，科學家的努力只不過是在了解上帝創造宇宙的意圖與計畫。
然而由於人類一再用推論的方法尋找到了自然的規律，宗教信仰變成與科學工作無關的另一件事。拿破崙發現 Laplace 在其談論宇宙系統的著作「天體力學」中居然沒提到上帝，而以此相責。Laplace 回答說：「我並不需要這樣的假定。」從此以後，科學的研究基本上與宗教的信仰分了家。
上帝是超級數學家的假定沒有了，但是科學家還是堅信自然是說數學話的，數學繼續成為科學工作者不可或缺的工具。到了二十世紀，科學家發現自然所說的數學話居然不完全是牛頓式的，於是科學家的態度有了一些改變，不再認為他們能夠直接找到自然的真理;他們能做的是提供數學的模型，逐次逼近自然的真實狀況。愛因斯坦說：「宇宙解不開的謎在於其可理解性。」又說：「迄今為止的經驗使我們有理由認為，自然是最簡單的、可以構想到的數學概念的一種體現。」

內容

偶爾觀察一下植物王國，你就會清楚看到生命的第二個秘密，比在其他任何地方都來得明顯─到處都可以找得到的數學模式！在對稱排列的花瓣裡；在沿著莖幹上下疊置的葉子裡；在某些植物的圓形種子和某些植物的尖型種子裡；以及在其他一些隨風飄散的種子的小小降落傘狀物裡。

不過，植物的其他特徵則因演化而與原始物理學愈離愈遠。植物的數學原理〈如果有的話〉，一直隱藏在演化的層層修補中。有某些花多會模仿雌蠅，是為了騙雄蠅前來做親密的接觸，以便傳播化粉；這種植物與昆蟲交互作用的演化，時間已經長達數億年之久。

我們已經注意到，植物（如花瓣及其他各種外貌）裡出現的數目，常取自Fibonacci數列：1、2、3、5、8、13、21、34、55、89...，在這個數列中，每一個樹都是其前兩個數的合。如有例外，多半會是下列兩種情形當中的一種：
一、這些數成對出現，這種把戲可能是由植物染色體的某些獨特性變出來的，但仍然屬於Fibonacci模式。
二、所謂的「異常數列」1、3、4、7、11、18、29 這個數列也是按照與Fibonacci數列相同的加法模式，只不過開始的
數字不同。
　

Fibonacci數術之謎

為了解釋植物的Fibonacci數術，人們已經花了三百多年努力尋找答案。終於，這個目標好像已經完成了。我們先來談數術〈numerology〉。要了解Fibonacci數出現在植物中的狀況，最好的方法其實不是把重心放在這些數的四則運算上。就某種意義而言，這些數的相加模式是一種巧合，是Fibonacci數術的數學結果，但不是其重要依據。探討這個問題最好的方法，就是來看植物幾何學。要看植物中的模式，最好的起點之一就是從向日葵這個例子開始看起：「向日葵的排列方式」。在此我們會看到相當驚人的數學模式。

向日葵的花呈現出兩組螺線，一組是順時鐘旋轉，另一組則是逆時鐘，兩者好像可以互相套合。在這個例子中，有三十四條像車輪幅調但呈彎曲狀的順時鐘螺線，並有五十五條逆時鐘方向的螺線，這兩個數目並不相同，但都是Fibonacci數──而且在數列中的位置是相鄰的。確實的數目要視向日葵的種類而定，不過我們通常看到的是「三十四及五十五」一組，或「五十五及八十九」一組，甚至有的是「八十九及一百四十四」一組。為了充分了解這個數字的數學的重要性，我們取Fibonacci 數列的相鄰數目來檢驗一下，譬如三十四與五十五：我們先化成對的分數34/55，然後乘以360度，得到的結果約為 222.5度。現在，我們可以量這個角的外角或內角；因為222.5度大於180度，所以要用360度來減掉，就得到「137.5度」這個神秘數。我們可以證明，當數字愈來愈大時，Fibonacci數列中相鄰兩數的比率會愈來愈接近 0.6182。像剛才所舉的 34/55 = 0.6182，就已經很接近這個值了。精確的極限值為 (√5-1)/2，也就是所謂的「黃金數」(golden number)，通常用希臘字母 ψ (讀做 phi)來表示。因此我們稱137.5度為「黃金角」(golden angle) ;更準確的值則為137.50776度。而且我們得知，要使花頭最密實、最堅固，最有效的堆排方式是讓發散角等於黃金角──這就是黃金角會這麼特別的原因，而這一切全來自有效率堆排的幾何原理。


延伸問題

1202年，義大利數學家Fibonacci出版了他的「算盤全書」。他在書中提出了一個關於兔子繁殖的問題：「如果一對兔子每月能生一對小兔（一雄一雌），而每對小兔在牠出生後的第三個月裡，又能開始生一對小兔，假定在不發生死亡的情況下，由一對出生的小兔開始，50個月後會有多少對兔子？」
不同的上樓梯方法與Fibonacci數列的問題：「在小息或者午膳的時候，都可以看見同學們急忙地上樓，如果你細心留意，就會看到他們每步踏兩級或一級樓梯。他們上樓梯的踏步方法有幾種？」

解題秘訣

在第一個月時，只有一對小兔子，過了一個月，那對兔子成熟了，在第三個月時便生下一對小兔子，這時有兩對兔子。再過多一個月，成熟的兔子再生一對小兔子，而另一對小兔子長大，有三對小兔子。如此推算下去，我們便發現一個規律：

時間(月) 初生兔子(對) 成熟兔子(對) 兔子總數(對)
1 1 0 1
2 0 1 1
3 1 1 2
4 1 2 3
5 2 3 5
6 3 5 8
7 5 8 13
8 8 13 21
9 13 21 34
10 21 34 55

由此可知，從第一個月開始以後每個月的兔子總數是：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233…這就是著名的Fibonacci數列。

　

如果只有一級樓梯，他們上樓梯的踏步方法就只有一種。如果有兩級樓梯，他們上樓梯的踏步方法就有兩種。那麼，如果有三級樓梯，他們上樓梯的踏步方法有多少種？是三種。將樓梯級數及不同的踏步方法記錄下來：1、1、2、3、5、8....你找到Fibonacci數列了嗎？

Fibonacci數列是由中世紀的意大利數學家費波那契（Leonardo Fibonacci，西元1170-1250年）發現了的一個數列：1、1、2、3、5、8、13、…後人稱之為費氏數列，並且對其性質加以研究與應用、發揚光大。Fibonacci費氏數列是是由一連串的數字所組成的（假設為a1、a2、a3…an-1、an），而且這串數字之間具有一定的規則，就是：「每一個數字必須是前兩個數字的和 (an = an-1 + an-2 )」。後人也發現費氏數列有一些耐人尋味的有趣性質，例如：當費氏數列一直算到很大或無限大的時候 (也就是n值無限大時)，後項除以前項的極限是黃金分割的值；而數學家也發現在大自然中，可以費氏數列來描述某些植物的生長規則，例如雛菊的花瓣的生長數目。另外有一種叫做「噴嗤麥」的花草，新的一枝長出是從葉脈開始，而另外的新枝又從舊枝長出來，老枝條和新枝條的數目是根據「Fibonacci數列」變化的。