點解銳角=對邊÷斜邊??? (直角三角形) 20分

Q:為什麼 ” 畢氏定理 ” 只適用於直角三角形?
A:在中國的古書中，畢氏定理又被稱為「勾股弦定理」。「勾股弦」這三個字是從正三角三個邊的名字而來：「勾」是較短的股；「股」是較長的股；而「弦」指的是斜邊。中國的勾股法是被用來發現 天文和測量地理。根據另外一本具象徵性 的古中國數學經典─周髀算經的記載， 早在中國朝代的初期(約西元前2100年)， 中國數學家就給了勾股弦定理中3-4-5 三角形這個特例證明。 在九章算數的「勾股章」中，共有24個問題，被分為兩部分，第一部分著重在以勾股弦定理為中心，有關直角三角形的運算，而第二部分是勾股測量的相關問題。在劉輝為九章算數所作的注中，清楚的記載勾股從容補理論到比例理論的發展過程，而且完整又嚴格地解釋勾股弦定理的理論系統。以下將著重在劉輝所提出勾股弦定理的證明。 劉輝利用一個已知兩股為3，4的直角三角形，欲求其斜邊長的題目為引導，進而一般化且證明了勾股弦定理。他的證明大致如下： (1) 選擇一任意直角三角形 (2) 製造兩個邊長各是勾與股的正方形 (3) 將這兩個正方形並排放置好 (4) 將這兩個正方形分為一個邊長為 (股-勾)的正方形與四個直角三角形。 我們不難發現這四個三角形皆與 原三角形全等，如圖一所示。 (5) 將靠外側的兩個直角三角形移至 以弦為邊的正方形內，如圖二所示。 (6) 我們可以得到一個完整的弦-正方形， 而且證明了(勾)^2+(股)^2=(弦)^2。 事實上，以上的兩個圖包含了另一個重要的勾-股-弦關係： (弦)^2=2(勾股乘積)+(勾股之差)^2。
古巴比倫
一項已被證明的說法指出， 古巴比倫的幾何圖形式被用來 占卜的。人們對於畢氏定理 的巴比倫證法(被稱為「兩倍 正方形」法)的了解最詳細是 來自於被珍藏於大英博物館中的。 對於 的猜設如下： 假設一個人想要製造一個兩倍於一已知正方形的正方形，他會怎麼做？他可能會把已知正方形的邊長兩倍，但他很快就會了解這麼做事實上是把正方形的面積放大了4倍。如果他觀察這個被放大了4倍的正方形，他可能會為了畫那4個已知正方形的對角線而連接大正方形各邊的中點。因為這些對角線能把這四個正方形切成一半，於是他便製造了一個兩倍於原已知正方形的正方形。另外，這麼做製造了一個較小的正方形位於已被4倍的正方形的中央，且有4個全等的直角三角形位於四周。其中，此較小正方形的邊長恰好是周圍直角三角形的斜邊。所以，結論是以任河直角三角形的斜邊為邊的正方形的面積，會等於以兩股為邊的正方形面積的和。這就是畢氏定理。 到目前為止，我們不難發現，雖然巴比倫證法是連接大正方形的中點來製造兩股相等的直角三角形，但只要我們旋轉中間以斜邊為邊的正方形，且保持此正方形的頂點在大正方形的邊上，也就是說，我們不把中央的正方形局限於是大正方形的一半，我們仍然可以得到與劉輝的證明一樣的圖形。

~_~

你先要知道定義和定理不一樣
定理可以計出來,證明得出
定義則是不可以的
例如+ - x / % 等等
你可以說[我要#是加的符號]
我沒有辦法說你這的是錯,但如果是這樣,那人人都有不同的方式牙,會混亂牙
所以就用定義去平衡這一齊
sin角=對邊/斜邊是一種定義
是一種只可記不可計的公式,無法講解的...(正如[加號]無法講解一樣)

銳角並不等於對邊÷斜邊
正如前面有人所說
這是 sine 的定義

如果有一些直角三角形 (有一隻角是 90 度)
而且我們固定了另外一隻角 (例如 30度)
那麼即使是不同大小的三角形
它們的邊長的比是會相同的 (因為全都是相似三角形 AAA)

因為只要固定了角度
邊長的比亦會固定
而若角度改變
邊長的比亦會隨之改變
所以我們會用 sine, cosine, tangent 一隻角度去表示由該角度的所做出的直角三角形的邊長的比
如果 sin30度 就是指 一個直角三角形而另一隻角為30度 的 對邊比斜邊
而 sin70度 就是指 一個直角三角形而另一隻角為70度 的 對邊比斜邊
如果是 cos70度 就是指 一個直角三角形而另一隻角為70度 的 鄰邊比斜邊
tan50度 就是指 一個直角三角形而另一隻角為50度 的 對邊比鄰邊

在中國的古書中，畢氏定理又被稱為「勾股弦定理」。「勾股弦」這三個字是從正三角三個邊的名字而來：「勾」是較短的股；「股」是較長的股；而「弦」指的是斜邊。中國的勾股法是被用來發現 天文和測量地理。根據另外一本具象徵性 的古中國數學經典─周髀算經的記載， 早在中國朝代的初期(約西元前2100年)， 中國數學家就給了勾股弦定理中3-4-5 三角形這個特例證明。 在九章算數的「勾股章」中，共有24個問題，被分為兩部分，第一部分著重在以勾股弦定理為中心，有關直角三角形的運算，而第二部分是勾股測量的相關問題。在劉輝為九章算數所作的注中，清楚的記載勾股從容補理論到比例理論的發展過程，而且完整又嚴格地解釋勾股弦定理的理論系統。以下將著重在劉輝所提出勾股弦定理的證明。 劉輝利用一個已知兩股為3，4的直角三角形，欲求其斜邊長的題目為引導，進而一般化且證明了勾股弦定理。他的證明大致如下： (1) 選擇一任意直角三角形 (2) 製造兩個邊長各是勾與股的正方形 (3) 將這兩個正方形並排放置好 (4) 將這兩個正方形分為一個邊長為 (股-勾)的正方形與四個直角三角形。 我們不難發現這四個三角形皆與 原三角形全等，如圖一所示。 (5) 將靠外側的兩個直角三角形移至 以弦為邊的正方形內，如圖二所示。 (6) 我們可以得到一個完整的弦-正方形， 而且證明了(勾)^2+(股)^2=(弦)^2。 事實上，以上的兩個圖包含了另一個重要的勾-股-弦關係： (弦)^2=2(勾股乘積)+(勾股之差)^2。
古巴比倫
一項已被證明的說法指出， 古巴比倫的幾何圖形式被用來 占卜的。人們對於畢氏定理 的巴比倫證法(被稱為「兩倍 正方形」法)的了解最詳細是 來自於被珍藏於大英博物館中的。 對於 的猜設如下： 假設一個人想要製造一個兩倍於一已知正方形的正方形，他會怎麼做？他可能會把已知正方形的邊長兩倍，但他很快就會了解這麼做事實上是把正方形的面積放大了4倍。如果他觀察這個被放大了4倍的正方形，他可能會為了畫那4個已知正方形的對角線而連接大正方形各邊的中點。因為這些對角線能把這四個正方形切成一半，於是他便製造了一個兩倍於原已知正方形的正方形。另外，這麼做製造了一個較小的正方形位於已被4倍的正方形的中央，且有4個全等的直角三角形位於四周。其中，此較小正方形的邊長恰好是周圍直角三角形的斜邊。所以，結論是以任河直角三角形的斜邊為邊的正方形的面積，會等於以兩股為邊的正方形面積的和。這就是畢氏定理。 到目前為止，我們不難發現，雖然巴比倫證法是連接大正方形的中點來製造兩股相等的直角三角形，但只要我們旋轉中間以斜邊為邊的正方形，且保持此正方形的頂點在大正方形的邊上，也就是說，我們不把中央的正方形局限於是大正方形的一半，我們仍然可以得到與劉輝的證明一樣的圖形。

對邊÷斜邊 是 SINE 的定義呀