圓周率的來源

圓周率，一般以π來表示，是一個在數學及物理學普遍存在的數學常數。它定義為圓形之周長與直徑之比。它也等於圓形之面積與半徑平方之比。是精確計算圓周長、圓面積、球體積等幾何形狀的關鍵。分析學上，π 可定義為是最小的 x > 0 使得 sin(x) = 0。
常用的 π 近以值包括疏率：
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/2/9/c/29cde9f6ad7ad117be486b19047272bd.png
。這兩項均由祖沖之給出。
π 約等於（精確到小數點後第100位）
3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70680

π 的計算及歷史
由於 π 的超越性，所以只能以近似值的方法計算 π。對於一般應用 3.14 或
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/2/9/c/29cde9f6ad7ad117be486b19047272bd.png
　則是易於記憶，精確至7位有效數字的分數。
[編輯]

實驗時期
中國古籍云：『周三徑一』，意即 π=3。公元前17世紀的埃及古籍《阿美斯紙草書》（Ahmes，又稱「阿梅斯草片文書」；為英國人Henry Rhind於1858年發現，因此還稱「Rhind草片文書」）是世界上最早給出圓周率近似值，為 256/81 ( = 3 + 1/9 + 1/27 + 1/81) 或 3.160。
至阿基米得之前，π值之測定倚靠實物測量。
[編輯]

幾何法時期——反覆割圓
阿基米得用幾何方法得出圓周率是介乎
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/b/8/3/b8375b353847ac7fa7922ee6794cca6a.png
之間。
公元263年，劉徽用「割圓術」給出 π=3.14014 並限出 3.14 是個很好的近似值——「割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣。」；其中有求極限的思想。
公元466年，祖沖之用割圓術算到小數點後7位精度，這一紀錄在世界上保持了一千年之久。為紀念祖沖之對中國圓周率發展的貢獻，將這一推算值用他的名字被命名為「祖沖之圓周率」，簡稱「祖率」。
[編輯]

分析法時期——無窮級數
這一時期人們開始擺脫利用割圓術的繁複計算，開始利用無窮級數或無窮連乘積求π。
Ludolph van Ceulen (circa，1600年) 計算出首 35 個小數字。他對此感到自豪，因而命人把它刻在自己的墓碑上。
Slovene 數學家Jurij Vega於1789年得出首 140 個小數字，其中有 137 個是正確的。這個世界紀錄維持了五十年。他是利用了John Machin於1706年提出的數式。
所有以上的方法都不能快速算出 π。第一個快速演算法由 Machin 提出：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/f/1/5/f15dc3d39c473c4bd718e3a98145da0d.png

其中 arctan(x) 可由泰勒級數算出。類似方去稱為「類Machin演算法」。
[編輯]

計算器時代
上萬位以上的小數字值通常利用 Gauss-Legendre 演算法或 Borweins 演算法；另外以往亦曾使用於1976年發現的 Salamin-Brent 演算法。
第一個 π 和 1/π 的百萬小數字利用了 Project Gutenberg。最新紀錄是2002年九月得出的 1,241,100,000,000 個小數位，由擁有 1TB 主存儲器的 64-node 日立 超級電腦，以每秒 200 億運算驚人速度得出，比舊紀錄多算出一倍 (206 億小數位)。此紀錄由以下類Machin演算法得出：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/5/2/4/524a01f928a2eddfb2d141f7d0089dd6.png
(K. Takano, 1982年)


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/2/0/e/20eeb32761f5204b35a62f50d7d1b2f5.png
(F. C. W. Störmer, 1896年)
這麼多的小數字沒什麼實用價值，只用以測試超級電腦。
1996年，David H. Bailey、Peter Borwein及西蒙•普勞夫發現了 π 的其中一個無窮級數：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/f/9/7/f9733b62958be8751fbab97431c27af5.png

以表達式可以計算 π 的第 n 個二進位或十六進位小數，而不需先計算之前 n-1 個小數位。請參考 Bailey's website 相關程序。
其它計算圓周率的方法包括：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/7/7/e/77e9fac37840591d2aea360317141f34.png
(Ramanujan)


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/d/c/8/dc88cec756645fb4751542454081ac6d.png
(David Chudnovsky 及 Gregory Chudnovsky)

詳情 : http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title

當我們想到的時候，千萬不要老是只想到圓。我們應想到它與所有的奇數正整數有關，也與所有質數平方因數的正整數有關，從初等的代數、幾何，到高等的分析、拓樸都離不開。此外它又是統計學上一個重要公式的一部分。就像變魔術一樣，在數學領域裡到處出現。 斯坦 (Sherman K. Stein)

圓周率的發展:
年代 求證者 內容
古代 中國周髀算經 周一徑三
西方聖經 圓周率 ＝ 3
　
元前三世紀 阿基米德(希臘) 1. 圓面積等於分別以半圓周和徑為邊長的矩形的面積
2. 圓面積與以直徑為長的正方形面積之比為11:14
3. 圓的周長與直徑之比小於3 1/7 ,大於310/71

三世紀 劉徽(中國) 　用割圓術得圓周率＝3.1416稱為'徽率'

五世紀 祖沖之(中國)　1. 3.1415926＜圓周率＜3.1415927
2. 約率 ＝ 22/7
3. 密率 ＝ 355/113

1596年 魯道爾夫(荷蘭)　正確計萛得的35 位數字

1579年 韋達(法國)　'韋達公式'以級數無限項乘積表示

1600年 威廉.奧托蘭特(英國) 用π/σ表示圓周率
π是希臘文圓周的第一個字母
σ是希臘文直徑的第一個字母

1655年渥里斯(英國)開創利用無窮級數求的先例

1706年 馬淇(英國)　'馬淇公式'計算出的100 位數字

1706年 瓊斯(英國)　首先用π表示圓周率

1789年 喬治.威加(英國) 準確計萛至126 位

1841年 魯德福特(英國)　準確計萛至152 位

1847年 克勞森(英國)　準確計萛至248 位

1873年 威廉.謝克斯(英國) 準確計萛至527 位

1948年 費格森和雷恩奇 準確計萛至808 位
(英國) (美國)
　
1949年 賴脫威遜(美國)用計算機將計算到2034位

現代 用電子計算機可將計算到百萬位

以前老師解釋 圓周率 是經過多次數學的 research 發現, 即是不斷量度圓周與直徑及半徑的數學關係, 而定出來。

不過我不知道這個解釋是否有代表性。

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/37/PiCM200.svg/100px-PiCM200.svg.png

圓周率，一般以π來表示，是一個在數學及物理學普遍存在的數學常數。它定義為圓形之周長與直徑之比。它也等於圓形之面積與半徑平方之比。是精確計算圓周長、圓面積、球體積等幾何形狀的關鍵。分析學上，π 可定義為是最小的 x > 0 使得 sin(x) = 0。
常用的 π 近以值包括疏率：
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/2/9/c/29cde9f6ad7ad117be486b19047272bd.png
。這兩項均由祖沖之給出。
π 約等於（精確到小數點後第100位）
3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70680
π 的計算及歷史
由於 π 的超越性，所以只能以近似值的方法計算 π。對於一般應用 3.14 或
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/2/9/c/29cde9f6ad7ad117be486b19047272bd.png
　則是易於記憶，精確至7位有效數字的分數。





日期
計算者
π的值
(世界紀錄用粗體表示)

前20世紀
巴比倫人
25/8 = 3.125

前20世紀
埃及人Rhind Papyrus
(16/9)² = 3.160493...

前12世紀
中國
3

前6世紀中
聖經列王記上7章23節
3

前434年
阿那克薩哥拉 嘗試通過標尺作圖來化圓為方


前3世紀
阿基米得
223/71 < π < 22/7
(3.140845... < π < 3.142857...)
211875/67441 = 3.14163...

20 BC
Vitruvius
25/8 = 3.125

130年
張衡
√10 = 3.162277...

150年
托勒密
377/120 = 3.141666...

250年
王蕃
142/45 = 3.155555...

263年
劉徽
3.14159

480年
祖沖之
3.1415926 < π < 3.1415927

499年
Aryabhatta
62832/20000 = 3.1416

598年
Brahmagupta
√10 = 3.162277...

800年
花拉子密
3.1416

12世紀
Bhaskara
3.14156

1220年
比薩的李奧納多
3.141818

1400年
Madhava
3.1415926359

以後的紀錄都僅記錄多少小數字後而不出實際值

1424年
Jamshid Masud Al Kashi
16位小數

1573年
Valenthus Otho
6位小數

1593年
Francois Viete
9位小數

1593年
Adriaen van Roomen
15位小數

1596年
Ludolph van Ceulen
20位小數

1615年
Ludolph van Ceulen
32位小數

1621年
Willebrord Snell (Snellius), Van Ceulen 的學生
35位小數

1665年
牛頓
16位小數

1699年
Abraham Sharp
71位小數

1700年
Seki Kowa
10位小數

1706年
John Machin
100位小數

1706年
William Jones 引入希臘字母 π


1730年
Kamata
25位小數

1719年
De Lagny 計算了 127 個小數字，但並非全部是正確的
112位小數

1723年
Takebe
41位小數

1734年
萊昂哈德•歐拉 引入希臘字母 π 並肯定其普及性


1739年
Matsunaga
50位小數

1761年
Johann Heinrich Lambert 證明 π 是無理數


1775年
歐拉指出 π 是超越數的可能性


1789年
Jurij Vega 計算了 140 個小數字，但並非全部是正確的
137位小數

1794年
Adrien-Marie Legendre 證明 π² 是無理數（則 π 也是無理數），並提及 π 是超越數的可能性


1841年
Rutherford 計算了 208 個小數字，但並非全部是正確的
152位小數

1844年
Zacharias Dase 及 Strassnitzky
200位小數

1847年
Thomas Clausen
248位小數

1853年
Lehmann
261位小數

1853年
Rutherford
440位小數

1853年
William Shanks
527位小數

1855年
Richter
500位小數

1874年
William Shanks耗費 15 年計算了 707 個小數字，可惜1946年D. F. Ferguson發現其結果非全對
527位小數

1882年
Lindemann 證明 π 是超越數（Lindemann-Weierstrass 定理）


1946年
D. F. Ferguson 使用桌上計算器
620位小數

1947年
710位小數

1947年
808位小數

1949年
J. W. Wrench爵士和L. R. Smith首次使用電腦（ENIAC）計算 π，以後的記錄都用電腦來計算的
2,037位小數

1953年
Mahler證明 π 不是Liouville 數


1955年
J. W. Wrench, Jr, 及 L. R. Smith
3,089位小數

1961年
100,000位小數

1966年
250,000位小數

1967年
500,000位小數

1974年
1,000,000位小數

1992年
2,180,000,000位小數

1995年
金田康正
> 6,000,000,000位小數

1999年
金田康正和Takahashi
> 206,000,000,000位小數

2002年
金田康正的隊伍
> 1,241,100,000,000 位小數