線性代數det(A*)=det(A)的conjugate

原來你是要證:det(A*)=det(A)的conjugate,也就是det(A)的上面加一條橫線這很簡單,但你必須知道det(A)=det(At)這個性質證明:假設A is n*n matrix,A 是可逆的,則可將A寫成有限個基本矩陣(elementary matrix)E1,...,En的乘積即A=E1*...*Endet(A)=det(E1*...*En)=det(E1t*....*Ent)=det(E1t)*....*det(Ent)=det(Ent)*...*det(E1t)=det(Ent*....*E1t)=det((E1*....*En)t)=det(At),其中t是取其轉置的意思,det(Eit)=det(Ei),det(AB)=det(BA)假設A不為可逆矩陣,rank(A)=rank(At)<nso det(A)=det(At)=0故det(A*)=det(At)的conjugate=det(A)的conjugate

2006-09-08 13:55:12 補充：
你先不要看det,A*=A^t的conjugate,這知道嘛之後兩邊取det:det(A*)=det(A^t的conjugate)det(A^t的conjugate)=det(A^t)的conjugate=det(A)的conjugate

我假設你的 A* 表示 A 的轉置共軛
不過這是錯的喔

(1 i) = A , det(A) = i + 1
(i .i)

(1 -i) = A* , det(A*) = -i + 1
(-i -i)

det(A) 不等於 det(A*) , 該是少了條件吧 ...

2006-09-08 11:52:06 補充：
設 A 的特徵值 λ_1, ... , λ_ndet(A) = 這些特徵值乘起來只要證明 A* 的特徵值分別是 λ_1, ..., λ_n 的共軛就行了, 這樣就會有 det(A*) = det(A) 的共軛.

2006-09-08 11:55:42 補充：
由 Schur Lemma 知道存在 unitary 矩陣 U 使得(U*)AU = B 是一個上三角矩陣其中 B 的對角線元素分別是 A 的那些特徵值兩邊取 * 有 (U*)(A*)U = B*注意到 B* 是一個下三角矩陣其對角線元素分別是 A 的那些特徵值的共軛

2006-09-08 11:58:24 補充：
兩邊再取行列式左邊 : det[U*)(A*)U] = det(A*)右邊 : det(B*) = 那些特徵值的共軛的乘積接下來一切已很明顯了 ...

A*是什麼矩陣?