列方程組解應用題(急)

1.假設此數 十位數為a 個位數為b
則此數表示為 10a+b
而個位和十位的和 = a+b
>> 10a+b=9b+6 → 10a=8b+6 (第一式)
>> 10a+b=5(a+b)+3 → 10a+b=5a+5b+3 → 5a=4b+3 → 10a=8b+6 (第二式)
綜合第一及第二式(兩式相同): a=(8b+6)/10 但a必須為1~9間的整數(不能為0),b為0~9間的整數
將b從0到9一一代入 a=(8b+6)/10, 得知 b=3 a=3 或 b=8 a=7,即此數可能為 33 或 78
但在此數為33的情況,卻不符合「用它除以個位數字，得商9，餘6」的條件(因為33/3是得商11餘0,不可表示為得商9餘6)
※故此數答案為: 78

2.假設:甲現年x歲,乙現年y歲,則甲乙年齡差距為x-y(且[x-y]>0)
(依句意--甲對乙說：[當我像你現在那麼大時，你那時的年紀是我現在年齡的一半]--甲的年齡必定大於乙)
>> y-(x-y)=x/2 (當甲年齡為y時,乙年齡為y-(x-y)) → 2(2y-x)=x → 4y-2x=x → 4y=3x (第一式)
>> x+(x+(x-y))=63 (當乙年齡為x時,甲年齡為x+(x-y)) → 3x-y=63 → 3x=63+y (第二式)
綜合第一及第二式: 4y=63+y → 3y=63 → 得 y=21
代入第一式: 4y=3x → 84=3x → 得 x=28
※故答案為: 甲現年 28 歲, 乙現年 21 歲

3.假設全程為x公里,"當離目的地的距離比已經走過的距離少20公里時"已經騎了y公里
>> y+(y-20)=x (已經走過的距離+離目的地的距離=全程) → x=2y-20 (第一式)
>> y/15+(y-20)/10=x/12.5 → (左右同乘150) 10y+15y-300=12x → 25y-300=12x (第二式)
(前面y公里時速15公里,故花了y/15小時;後面(y-20)公里時速10公里,故花了(y-20)/10小時;全程總共花了[y/15+(y-20)/10]小時;又全程平均時速12.5公里,故總共花了[x/12.5]小時;所以得出 y/15+(y-20)/10=x/12.5)
將第一式代入第二式: 25y-300=12(2y-20) → 25y-300=24y-240 → 得 y=60
代入第一式: x=2y-20 → 得 x=120-20=100
※故答案為: 全程 100 公里

4.假設原來甲桶水有x公斤,乙桶水有y公斤
>> x-2=3(y+2) → x-2=3y+6 → x=3y+8 (第一式)
>> x+1=9(y-1) ("甲桶中的水比乙桶多8倍" 意即 "甲桶中的水是乙桶的9倍") → x+1=9y-9 → x=9y-10 (第二式)
將第一式代入第二式: 3y+8=9y-10 → 18=6y → 得 y=3
代入第一式: x=3y+8 → 得 x=9+8=17
※故答案為: 原來甲桶水有17公斤,乙桶水有3公斤

5.假設客車速度為x公尺/分,貨車速度為y公尺/分(因車長單位為公尺,交會時間單位為分鐘,故速度單位定為公尺/分,且x、y不為0)
(1)兩車同向行駛,求速度:
>> x:y=5:3 → x/y=5/3 → (左右同乘3) 3x/y=5 → (左右同乘y) 3x=5y (第一式)
>> (280+200)/(x-y)=1 (這裡的1是指"兩車交會時間"--1分鐘) → 480=x-y → x=480+y (第二式)
(從"客車的頭抵達貨車的尾",一直到"客車的尾抵達貨車的頭",這段時間為兩車交會時間,其靜態距離(即其中一車停止不動時)為280(貨車長)+200(客車長)=480公尺；但因兩車是在同向行駛中,故必須以兩車的速度差,即客車每分鐘比貨車快多少(x-y),來計算這段距離需花費多少時間,依題目所給是1分鐘)
將第二式代入第一式: 3(480+y)=5y → 1440+3y=5y → 1440=2y → 得 y=720(公尺/分)
代入第二式: x=480+y → 得 x=480+720=1200(公尺/分)
※故答案為: 客車速度 1200(公尺/分), 貨車速度 720(公尺/分)
(註: 在這交會時間1分鐘,貨車行駛了720公尺,客車則行駛了280+200+720=1200公尺,與答案剛好符合[因為兩車是同向行駛,所以客車必須多走貨車行駛的720公尺,實際總共要走1200公尺才能追過貨車而脫離交會])
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(2)兩車相向行駛,求交會時間:
(從"客車的頭抵達貨車的頭",一直到"客車的尾抵達貨車的尾",這段時間為兩車交會時間,其靜態距離(即其中一車停止不動時)一樣為280(貨車長)+200(客車長)=480公尺；但因兩車是在相向行駛中,故必須以兩車的速度和,即客車速度加上貨車速度(x+y),來計算這段距離需花費多少時間)
>> 兩車交會時間=(280+200)/(x+y)=480/(x+y)
但由 (1) 已求得 x=1200, y=720 代入上式: 480/(x+y)=480/(1200+720)=480/1920=0.25(分鐘)
換算為秒(1分鐘為60秒): 0.25(分)=0.25*60(秒)=15(秒)
※故答案為: 兩車交會時間 15 秒
(註: 在這交會時間15秒,貨車行駛了720*0.25=180公尺,客車則行駛了1200*0.25=280+200-180=300公尺[因為兩車是相向行駛,所以形同是貨車幫客車走了180公尺,客車實際只要走300公尺就能脫離交會,故客車計算式裡是 -180,而不是 +180])

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